“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

 

       杨明昆  王严学  杨昭国 

       (ygyzg@126.com)

 

    1.“曳物线”

    从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值，则称曲线C为曳物线。直线l为其渐近线。^［1］

 

http://s16/mw690/002IPJOJzy6OvgtUuqXcf&690
图1 “曳物线”

    2.“伪球面”

    由“曳物线”绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做“伪球面”。这种曲面的全曲率在每一点都是常数且是负的。^［1］

    考虑OXZ平面上的曳物线：如果曲线C上任意一点P的切线与z轴的交点Q到点P的线段长恒为定值R_S，则称曲线C为曳物线。z轴称为曳物线的渐近线。

    设曳物线C的方程为z=z(x)。若曳物线C上一点P(x，z)处的切线方程为Z-z=Z^’(x)(X-x)，则切线与z轴的交点为Q(0，z-Z^’(x)x)。

    由∣PQ∣=R_S，可知：在直角三角形△PTQ中，∣PQ∣²=∣QT∣²+∣TP∣²，即R_S²=（Z^’(x)x）²+x²，可得Z^’(x)=±(√R_S²-x²)/x，亦即dz=±（(√R_S²-x²)/x）dx。

 

http://s3/mw690/002IPJOJzy6Ovgvztya52&690
图2

    令x=R_Ssint（0＜t≤π/2），有dz=±R_S（cos²t/sint）dt=±R_S（(1-sin²t）/sint）dt=±R_S(1/sint-sint）dt=±R_S(1/(2tan(t/2)cos²(t/2))-sint）dt，即：dz=±R_S(1/(2tan(t/2)cos²(t/2))-sint）dt，于是有：z=±R_S(lntan(t/2)+cost）。

    于是，OXZ平面上以z轴为渐近线、定值为R_S的曳物线方程是①：

http://s12/mw690/002IPJOJzy6Ovgy2rkD3b&690

 

    上述以z轴为渐近线、定值为R_S的曳物线，绕它的渐近线z轴旋转而形成的回转曲面——“伪球面”R_S，其在OXYZ直角坐标系中的参数方程是②：

http://s10/mw690/002IPJOJzy6OvgzeFvPd9&690

 

    其中，0≤θ≤2π。

    2.1“球心”

    称“伪球面”内的“渐近线”为“伪球面的球心” ^［2］。下图所示的“喇叭形”，就是一个以R_S为半径的“伪球面”。^［3］

 

http://s16/mw690/002IPJOJzy6OvgATF152f&690
图3 “伪球面”

    在这里，“伪球面”的“球心”是一条直线——“伪球面”内的“渐近线”——形成“伪球面”的“曳物线”的“渐近线”。

    我们的讨论认为，“奇点视界”就是一个“伪球面”，还是一个“三维球面”：在“四维空间”中，其中的“任意一点” ——都是由一个“点”——“奇点”“大爆炸”而来——与“奇点”等距。^{［4］［5］}

    2.2“曲率”

    对于上述的“伪球面”R_S的曲率K，可以用下述的“参数曲率公式”③计算^［6］：

http://s7/mw690/002IPJOJzy6OvgFxIx0f6&690

 

    把x(t)=R_Ssintcosθ，x^’(t)=R_Scostcosθ，x^’’(t)=-R_Ssintcosθ，y^’(t)=sinθcost，y^’’(t)=-sinθsint，z^’(t)=R_Scos²t/sint，z^’’(t)=-R_S(cost+sin²tcost)/sin²t代入③，计算可得：K=-1/R_S²。

或者用“回转面曲率公式”④计算^［6］：

http://s2/mw690/002IPJOJzy6OvgI1C8h11&690 

    把x(t)=R_Ssint，x^’(t)=R_Scost，x^’’(t)=-R_Ssint，z^’(t)=R_Scos²t/sint，z^’’(t)=-R_S(cost+sin²tcost)/sin²t代入④，计算可得：K=-1/R_S²。即⑤:

http://s1/mw690/002IPJOJzy6OvgKJfCoc0&690

 

    2.3“面积”

    上述“伪球面”R_S是对应“曳物线”绕其“渐近线”的“回转面”，其面积记作S。

    用垂直于z轴的两平行平面截取“伪球体”，可得高为dz、半径为x的一个圆柱的“面积微元”ds。

 

http://s9/mw690/002IPJOJzy6OvgMCi8Mf8&690

图4

    由此可知，ds=2πxdz，把x=R_Ssint，dz=R_S（cos²t/sint）dt代入得：ds=2πR_Ssintdz=2πR_Ssint（R_S（cos²t/sint））dt=2πR_S²cos²tdt，即：ds=2πR_S²cos²tdt。

    因此：S=∫ds=∫2πR_S²cos²tdt =2πR_S²∫cos²tdt=2πR_S²∫((1+cos2t)/2)dt=πR_S²∫(1+cos2t)dt==πR_S²+πR_S²∫cos(2t)dt =πR_S²+ (πR_S²/2) sin2t︱₀^π/2。

    考虑到是积分的结果是“面积”，应该是：面积(πR_S²/2) sin2t︱₀^π/2=(πR_S²/2) （sin2t︱₀^π/4-sin2t︱_π/4^π/2）=(πR_S²/2) （1+1）=πR_S²。所以，S=2πR_S²。即⑥：

http://s4/mw690/002IPJOJzy6OvgPgRF133&690

 

    考虑到，与z轴正半轴对称的负半轴上的“曳物线”，将形成“对称”的“伪球面”。

 

http://s14/mw690/002IPJOJzy6OvgR0J3v9d&690
图5 “正半轴”的“伪球面”

    于是有半径为R_S的全部的“伪球面“的面积⑦：

http://s15/mw690/002IPJOJzy6OvgSpSXk8e&690

 

    可见，半径为R_S的“伪球面”的“面积”，与半径为R_S的“球面面积”是一样的。

    2.4“体积”

    上述“伪球面”R_S和平面OXY围成的空间，称为半径是R_S 的“伪球体”R_S。“伪球体”R_S的体积也称为“伪球面”R_S的体积，记作V。

    同样地，用垂直于z轴的两平行平面截取“伪球体”，可得高为dz、半径为x的一个圆柱体的“体积微元”dv。dv=πx²dz，把x=R_Ssint，dz=R_S（cos²t/sint）dt代入得：dv=πR_S²sin²tdz=πR_S²sin²t（R_S（cos²t/sint））dt=πR_S³sintcos²tdt，即：dv=πR_S³sintcos²tdt。

    因此：V=∫dv=∫πR_S³sintcos²tdt=πR_S³∫sintcos²tdt=πR_S³∫sintcos²tdt=(πR_S³/3)cos³t︱_π/2⁰=πR_S³/3，即V=πR_S³/3。亦即⑧：

http://s11/mw690/002IPJOJzy6OvgUW9wm6a&690

 

    与z轴正半轴对称的负半轴上的“曳物线”，将形成“对称”的“伪球面”。

 

http://s11/mw690/002IPJOJzy6OvgW8I3g9a&690
图6 “伪球体”

    所以，半径为R_S的“伪球面”（“双侧对称”），围成的“伪球体”的“体积”是⑨：

http://s12/mw690/002IPJOJzy6OvgY0ry32b&690

 

    可见，半径为R_S的“伪球体”的“体积”，只有半径为R_S的“球体体积”的一半。

 

 

参考资料:

［1］《曳物线》百度百科（http://baike.baidu.com/view/1725293.htm）

［2］《“伪球面”——“宇宙的另一极”》（http://blog.sina.com.cn/s/blog_94b2f1e50101f51j.html）

［3］《伪球面》百度百科（http://wenku.baidu.com/view/f4ccd1ea0975f46527d3e165.html）

［4］《我们在“奇点视界”—“三维球面”之中》

（http://blog.sina.com.cn/s/blog_94b2f1e50102vjck.html）

［5］《“三维球面”是一个“‘伪球面’空间”》

（ http://blog.sina.com.cn/s/blog_94b2f1e50102vjy8.html）

［6］《曲率》维基百科

（http://zh.wikipedia.org/wiki/曲率）

［7］相关资料请参考《“引力场”与“空间场”》

(http://blog.sina.com.cn/u/2494755301)

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