第四节  盈亏问题

根据一定的数量，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余，一次不足，或两次都有余，或两次都不足，这类涉及分配有余或不足的问题，叫盈亏问题。

解题方略：

关键在于找出两次分配中数值保持一定的量，弄清盈、亏与两次分得的差之间的关系，运用包含除的原理，求得份数。

在解题时我们一般借助摘录条件法和画图法来分析题中的数量关系。

盈亏问题基本数量关系式：

（盈+亏）÷二次分配差=份数

（大盈-小盈）÷二次分配差=份数

（大亏-小亏）÷二次分配差=份数

盈适足：一次分配有余，一次正好够分；

不足适足：一次分配不足，一次正好够分。

例题解析

例1、 方芳阿姨给幼儿园小朋友分苹果，如果每人分 3 个，多 16 个苹果；如果每人分 4 个，那么就差 5 个苹果。问有多少个小朋友，有多少个苹果？

解析： 因为不论如何分配，小朋友的人数与苹果的数量是不变的。比较两种分配方法 

第一种   每人分3个   多16个苹果

第二种   每人分4个   差5个苹果

第二种分配方法比第一种分配方法每人多分了4-3=1个苹果，相差了16+5=21个苹果，相差的原因在于两种分配方法的分配数不同，每个人相差1个苹果，那么多少个人会相差21个苹果？由此可求出小朋友的人数：（16+5）÷（4-3）=21个小朋友，进而可求得苹果数：21×3+16=79（个）或21×4-5=79（个）。列算式：

   （16+5）÷（4-3）=21（人）…………小朋友人数

21×3+16=79（个）…………苹果数

或21×4-5=79（个）…………苹果数

答：共 有21个小朋友，共有79个苹果。

通过分析我们知道解盈亏问题的 关键在于确定两次分配差与盈亏的总额。 盈亏问题我们也可以借助线段图来分析：

               每人分3个需要数  每人分3个多16个

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第一次分配

每人分4个需要数

第二次分配

每人分4个缺5个

每人多分了4-3=1个需16+5=21个

例2、 学校去春游，分乘若干量汽车，如果每量车做60人，则剩下18人；若每量车乘65人，则剩下3人。汽车共有多少辆？春游共有多少人？

解析： 第一种分配“盈”18人，第二种分配“盈”3人，两次分配不同如图，第二次分配比第一次分配每车多了65-60=5（人），也就是每车多装了5人，因此相差了（盈亏总额实际差）18-3=15（人），

每车分60人需要数   每车60人多18人

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每车65人多3人

第一次分配？（每车多分了65-60=5人需18-3=15人）

第一次分配　每车分65人需要数  

所以：  （18-3）÷（65-60）=3（辆）…………汽车数

         60×3+18=198（人）…………春游人数

         或65×3+3=198（人）…………春游人数

答：汽车共有3辆，春游共有198人。

解题时要注意两种分配方法不一定总是一“盈”一“亏”，还可能两个都“盈”、两个都“亏”，或是一个“不盈不亏”，另一个“盈”或“亏”等情况，解题时要认真分析。

例3、 学校组织学生去太阳岛活动，如果每船坐65人，则有15人上不了船。如果每船多坐5人，恰好多余了一条船。问一共有几条船？多少名学生？

解析； 每船多坐5人也就是每船坐5+65=70（人），恰好多余一条船，说明还差一条船的人，即70人，因而原问题转化为：

      如果每船坐65人，则有15人坐不上船，如果每船坐70人，则还差70人，求有几条船？多少名学生？这就是典型的盈亏问题了，可求解：

    （15+70）÷（70-65）=17（条）…………船数

     65×1 7+15=1120（人）…………学生数

     或70×17-70=1120（人）…………学生数

答：一共有17条船，1120名学生。

已知在解盈亏问题时，有时题中没有给出直接条件，那么就需要根据已知条件和题中隐含条件，转化成所需条件，在进行求解。

例4、 少先队员去植树，如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑。问少先队员一共挖了多少个树坑？

解析： 我们需要把题目中已知“如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑”。转化为如果每人都挖6个树坑，那么就可以多挖树坑（6-4）×2=4（个），这样原题就转化为典型的盈亏问题，“如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果每人各挖6个树坑，就可多挖4个树坑”可求解：

      （3+4）÷（6-5）=7（人）…………少先队员人数

       6×7-4=38（个）…………坑数

      答：少先队员一共挖了38个树坑。

    在转化条件的时候要认真分析那些条件是可以转化的，如“如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑”中“其中2人各挖4个树坑”有实际的“人数”和“坑数”这样可以把它化成“平均的数量”“每人各挖6个树坑”，那么所分配的 “盈”或“亏”的数量也随之变化。

例5 、用绳子测井深，绳子两折时，井外余60厘米，绳子3折，还差40厘米，求绳长和井深。

解析： 绳子二折时，绳子多余长度是60×2=120（厘米）

      绳子三折时，绳子不够的长度是40×3=120（厘米）

      所以“盈亏总额”（井深）为120+120=240（厘米）根据盈亏问题的数量关系，可解：

      （120+120）÷（3-2）=240（厘米）…………井深

     （240+60）×2=600（厘米）…………绳长

       或（240-40）×3=600（厘米）…………绳 长

       答：绳长600厘米，井深240厘米。

例6 、一个学生从家到学校，先用每分钟50米的速度走2分钟后，感到如果这样走下去，他上课就要迟到8分钟。后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟，这个学生从家到学校的距离是多少？

解析 ：每分钟走50米，要迟到8分钟，就是学校要开始上课，他还距学校50×8=400米。如果每分钟走60米，可早到5分钟，还可走60×5=300米。两种不同的速度，在相同的时间内路程相差了400+300=700米。后一种速度比前一种速度快60-50=10米，每分钟多走10米，一共多走了700米，因此可以求出从家出发要走多少分钟能准时到校700÷10+2=72分钟，进而求出从家到学校的距离，求解：

（50×8+60×5）÷（60-50）+2=72（分钟）…………准时到校时间

     50×72+50×8=4000（米）…………家到学校的距离

     答：这个学生从家到学校的距离是4000米

例 7 、 钢笔与圆珠笔每支相差 1 元 2 角，小明带的钱买 5 支钢笔差 1 元 5 角，买 8 支圆珠笔多 6 角。问小明带了多少钱？

解析 ：买 5 支钢笔差 1 元 5 角，如果把这 5 只钢笔换成圆珠笔的话就可以退回 6 元钱，所以小明带的钱买 5 支圆珠笔就应该多了 4 元 5 角，这个时候就可以去和第二个条件进行比较， 8-5=3 只圆珠笔就等于 4 元 5 角 -6 角 =3 元 9 角，一只就是 3 元 9 角÷3= 1 元 3 角，那么小明一共带了 13 × 8+6=110 角 =11 元钱。列式计算： 1 元角=12角   1 元 5 角=15角 

       （12*5-15-6）÷（8-5）=13（角）…………每只圆珠笔钱数

       13 × 8+6=11 0 角 =11 元钱…………小明带的钱数

      答：小明带了11元钱。

练 习 题

1、给小朋友分苹果，如果每人分 3 个多 16 个；如果每人分 4 个就缺 6 个，有多少个小朋友？有多少个苹果？

2、老师给同学发本子，如果每人发给 5 本，则剩 7 本；如果每人发给 7 本，则少 5 本。学生和本各多少？

3、一组学生去植树，每人栽 6 棵还剩 4 棵，如果每人栽 7 棵，就少 6 棵树，这组学生有多少人？一共植树多少棵？

4、       一批纸装订成若干本练习本，每本 20 页，还剩下 130 页，每本 30 页，会缺 10 张纸。装订了几个本？共有多少张纸？

5、将一批糖果分给幼儿园大班小朋友，如果每人分 3 粒，就余下 17 粒；如果每人分 5 粒，就缺少 13 粒。幼儿园大班有小朋友多少人？这批糖果共多少粒？

6、王丽读一本故事书，她每天读 8 页，在规定的天数内剩下 24 页没读完；如果她每天读 11 页，在规定的天数内还能读 12 页。问这本书有多少页？规定几天读完？

7、大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分 4 个，还剩下 7 个；如果每只小猴分 5 个，则少 2 个桃子。问一堆桃子有多少个？小猴有多少只？

8、几个小童赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个。几个小童几个梨？

9、       学生们乘车去参观，如果每辆车坐 55 人，就余下 30 人没有座位；如果每辆车坐 60 人，就还可再坐 10 人。问车有多少辆？学生有多少人？

10 、妈妈去商店买花布，妈妈带的钱如果买 2 米还余 18 角钱；如果买 4 米，则还差 24 角钱，妈妈带了多少钱？

11 、一组学生搬书，每人搬 8 本，还剩 14 本，每人搬 9 本，最后一人只搬 6 本，这组学生有多少人？这堆书有多少本？

12、       验小学学生乘汽车到香山春游，如果每车坐 65 人，则有 15 人不能乘上车，如果每车坐 70 人，恰好可以少用一辆汽车。问一共有几辆汽车？有多少学生去春游？

13、       先队员去植树，如果每人挖 5 个坑，还有 7 个树坑没人挖；如果每人挖 7 个树坑，就有一个人没有树坑挖。少先队员一共挖多少个树坑？有多少个少先队员？

14、       学校为新生分配宿舍，每个房间住 3 人，则有 23 人无处住，每个房间住 5 人，则余下 3 个房间。新生共有多少人？

15、       大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分 10 桃子，有两只小猴没有分到；第二次重分，每只小猴分 8 个桃子，刚巧分完。问一堆桃子有多少个？小猴有多少只？

16、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐 9 人。问这个班共有多少同学？

17、李老师将一叠练习本分给第一小组同学。每人分 7 本还多 7 本，如果每人分 9 本，那么就有一个同学分不到。请问：第一小组有几个同学？这叠练习本一共是多少本？

18、有学生若干人，宿舍若干间。如果每间住 8 人，那么还有 28 人没位置；如果每间住 10 人，那么空出 2 间房。求住宿学生多少人？宿舍多少间？

19、阿姨给幼儿园小朋友分糖，如果每人分 10 块多 12 块，如果每人分 12 块刚好有一个小朋友没有分到糖。问幼儿园有多少个小朋友？阿姨要分多少块糖？

20、同学们去划船，如果每条船坐 4 人，则少 3 条船；如果每条船坐 6 人，就空 2 个位子。划船的同学有多少人？共租了几条船？

21、某校分配学生宿舍，若每个房间 12 人，则 34 人没有位置，若每个房间 14 人，则空出四个房间。这个学校有宿舍多少间，住宿学生多少人 ？

22、学雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬 18 块，还剩 2 块；如果每人搬 20 块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？

23、       一根绳子绕树 3 圈余 3 尺，如果绕树 4 圈还差 4 尺，问树的周长是几尺？

24、       绳测游泳池水深，绳子两折时，多余 60 厘米，绳子三折时，还差 40 厘米。求绳长和游泳池水深。

25、把月季花插入若干只花瓶中。如果每瓶插 8 朵缺少 1 个花瓶；如果每瓶改为插 10 朵，就有两个花瓶各缺少 1 朵。问几个花瓶？几多花？

26、       林买来一本数学练习册，他打算在暑假期间把练习册上的题目全部做完。如果每天做 9 道，那么在预定时间将留下 95 道没有完成；如果每天做 10 道，也将余下 50 道没完成。问小林打算在多少天内做完这本练习册？这本练习册共有多少道题？

27、       一个工人接到一批加工零件的任务，限期完成。他计划每小时做 10 个就可以超过任务 3 个；每小时做 11 个，就可以提前 1 小时完成。他加工零件多少个？限几小时完成？

28、       在楼上用绳子测量楼高，把绳对折后，下到地面时尚余 8 米，把绳子三折后下到地面尚余 2 米。求楼高和绳长。

29、       学校分配宿舍，每个房间住 3 人，则多出 20 人，每个房间住 5 人，恰恰安排好，问房间和学生各有多少？

30、       学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中每人擦 5 块，则余 10 块，若每人擦 6 块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？

31、       某饭店买进一批煤，如果每天用 5 吨，可余 90 吨，如果每天用 6 吨，可余 30 吨，这批煤有多少吨？计划烧多少天？

32、李老师将一叠练习本分给第一小组同学。每人分 7 本，还多 21 本，如果每人分 9 本，还多 3 本。问第一小组有几个学生？这叠练习本一共是多少本？

33、老师把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分 1 个，那么就多 8 个苹果；如果每人分 2 个，那么就多 2 个苹果。一共有多少个小朋友？

34、少先队员参加搬砖劳动，如果每人搬 15 块，则剩下 23 块，若每人搬 17 块，则剩下 3 块。参加搬砖劳动的少先队员共多少人？这批砖共多少块？

35、有自动铅笔若干支，奖给品学兼优的学生。每人发 5 支余下 30 支，每人发 7 支仍余 2 支，品学兼优生共多少人？自动铅笔共多少支？

36、把一袋糖分给小朋友们，每人 10 粒，就剩下 50 粒；如果每人分 15 粒，就正好分完。这袋糖有多少粒？

3 7 、有一批故事书分给几个小朋友，如果每人分 4 本，那么会剩余 5 本；如果其中 1 人分 3 本，其余每人分 5 本，就会刚好分完。这批故事书共有多少本？

3 8 、少先队员去植树，如果每人挖 5 个树坑，还有 3 个树坑每人挖，如果其中 2 人各挖 4 个，其余的人各挖 6 个树坑，就恰好挖完所有的树坑。少先队员一共挖了多少树坑？

39、       学给学生分宿舍。如果每间宿舍住 6 人，则有 68 人没有床位；如果每间住 8 人，仍旧缺少一间宿舍。问宿舍有多少间？学生有多少人？

40、人铺一条路基，如果每天铺 260 米，铺完全路长就得延长 8 天；如果每天铺 300 米，铺完全路长仍得延长 4 天。这条路长多少米？

41、       学雷锋小分队帮李奶奶在地里拔白菜，其中 2 人各拔 4 棵，其余的人各拔 5 棵，此时地里还剩下 12 棵。如果每个人都拔 6 棵，正好拔完。有多少人？有多少棵白菜？

42、       学生分练习本，如果其中 4 人每人分 8 本，其余每人分 3 本，则少 10 本；如果其中 2 人每人分 10 本，其余每人分 2 本，则多 24 本。学生有多少人？练习本有多少本？

43、       某人从 A 地到 B 地，如果每分钟 90 米的速度走，那么要迟到 5 分钟；如果每分钟走 100 米，那么仍迟到 3 分钟。他应以每分钟多少米的速度走才能准时到达？

44、农民锄草，其中 5 人各锄 4 亩，余下的各锄 3 亩，这样分配最后余下 26 亩；如果其中 3 人每人各锄 3 亩，余下的人各锄 5 亩，最后余下 3 亩。求锄地面积和人数各是多少？

45、学校规定上午 8 时到校，王强上学去如果每分钟走 60 米，可提早 10 分钟到校；如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校。王强几时几分离的家？他家离学校多远？

46、一个工人接到一批加工零件的任务，限期完成。他计划每小时做 10 个就可以超过任务 3 个；每小时做 11 个，就可以提前 1 小时完成。他加工零件多少个？限几小时完成？

47、学生分练习本，如果其中 4 人每人分 8 本，其余每人分 3 本，则多 10 本；如果其中 2 人每人分 10 本，其余每人分 4 本，仍多 2 本。学生有多少人？练习本有多少本？

48、某校分配学生宿舍，其中有 2 个房间每间住 12 人，其余房间每间住 10 人，则有 50 人没有位置；若其中 1 个房间住 10 人，其余房间每间住 12 人，仍有 8 人没有位置。这个学校有宿舍多少间？住宿学生多少人？

49、某班同学去玩球，如果减少一个球，每组正好 9 个人，如果增加一个球，每组正好 6 个人。则全班共有多少人？共有几个球？

50、三年级学生搬砖，有 12 人每人各搬 7 块，有 20 人每人各搬 6 块，其余的每人搬 5 块，这样最后余下 148 块；如果有 30 人每人搬 8 块，有 8 人每人搬 9 块，其余的每人搬 10 块，这样分配最后余下 20 块。学生共有多少人？共有砖多少块？

51、       们参加春季植树，每 3 人分成一组。将树苗分给各组时，如果每组分 5 棵，少 14 棵；如果每组分 4 棵，则少 2 棵。参加植树的同学有多少人？准备的树苗是多少棵？

52、       宫音乐班招收了一批新生，若编成 55 人一班，还要招收 30 人；若编成 50 人的班级，还需招收 10 名新生，这次共招收新生多少人？准备编几个班？

53、       若干个同学去划船，他们租了一些船，如果每船 6 人则少 40 人，如果每船 4 人则少 10 人。有多少同学去划船？一共租了多少条船？

54、       有一堆螺丝和螺母，如果一个螺丝配三个螺母则少 12 个螺母，如果一个螺丝只配两个螺母，还缺少2个螺母。问螺丝和螺母各有几个？

55、       把一批课本平均分给若干个同学，如果分给 20 个同学，则差 28 本；如果分给 24 个同学，则少 96 本。每人分得多少本？共有课本多少本？

56、       把一批纸张分给一些小同学，如果每人分 8 张，则缺 18 张；如果每人分 5 张，则缺 3 张。那么，小同学有多少人？纸张有多少张？

57、       某班收班费，每人收 7 元钱，则不足 78 元；每人收 9 元，还差 6 元。求这个班的人数和所需的班费金额？

58、妈妈给小添添的生日礼物是一本崭新的相册。小添添把他的照片全部装入相册。如果每页装 3 张，最后空着 3 页。如果每页装 5 张，最后空着 9 页。小添添有多少张相片？这本相册一共有多少页？

59、火车上午 9 点开车，有一乘客从家到车站，如果每分钟走 100 米可提早 10 分钟到达；如果每分钟走 80 米，可提早 6 分钟到达，则这个乘客在路上计划用多少分钟？他几点从家里出发刚好 9 点到达？家离车站有多少米？

60、       搬书，每人搬 8 本，其中就有 5 人每人只搬 4 本；如果每人搬 6 本，就有 1 人没书搬。这组学生有多少人？这堆书有多少本？

61、       少先队员去植树，每人栽 7 棵树，恰好少 1 棵；如果其中有 3 人各栽 5 棵，其余的人各栽 8 棵，就正好栽完。问这组少先队员一共有多少人？

62、       同学们去植树，如果每人种 5 棵，还少 1 棵；如果其中 4 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完。有多少学生参加植树？一共种了多少棵树苗？

63、       将一些橘子分给若干个小朋友。如果其中有 2 人每人分 8 个，其余的人每人分 10 个，则少 11 个橘子；如果其中有 3 人每人分 9 个，其余的人每人分 8 个，还少 6 个橘子。问有多少个橘子？多少个小朋友？

64、       若干学生搬一堆砖。若每人搬K块，则剩下19块未般走，若每人搬9块，则最后一名学生只搬5块，那么学生共有多少人？

65、 一列火车从甲城开往乙城，每小时行48千米，中午12时到达；每小时行80千米，上午10时到达。如果要上午11时到达，这列火车行驶速度应是每小时多少千米？

66、       师傅做一批零件，如果他平均每天做 24 个，将比计划推迟一天完成，如果他平均每天做 40 个，将比计划提前一天完成，为了按计划完成，他平均每天要做多少个零件？

67、       四（ 2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果，如果买芒果13千克，还差4元，如果买奶糖15千克，则还剩2元。已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么辅导员老师带了（ ）元钱。

68、       学校买来一些毽子，分给全校各班。如果每班 16 个，恰好分完；如果少给 2 个班，每个班多分 1 个，还剩 10 个。班级和毽子各多少个？

69、       给小猴分桃子，如果每只小猴分8个桃子，还剩10桃子；如果每只小猴分9个桃子，那么有一只小猴就分不足9个，但仍可以分到桃子，小 猴子一共有多少只？

70、幼儿园老师把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分 1 个，则多 8 个苹果；如果每人分 2 个，则少 2 个苹果。一共有几个小朋友？

71、妈妈带小明买布，如果买 2 米还剩 0.9 元，如果买 4 米同样的布，还差 1.2 元，问妈妈带了多少元钱？