加载中…初中数学：一道几何好题,学会“胡不归问题”动点最值处理方法
(2020-09-15 11:10:58)
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胡不归问题，是初中数学几何题的难点，与阿氏圆类似，在动点运动过程中求某线段的最值。
胡不归问题的典型特质是求AP+k·BP的形式，这里一般考虑将k·BP进行转化，构造出一个角α，令sinα=k，再做垂线，构造出直角三角形，角α的对边即为k·BP，进而求解最值。
来看例题，我们边做边理解。
【例题】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值。
(本题视频讲解在文末)
先分析一下，AP＋BP＋CP中，AP=CP；
所以，AP＋BP＋CP=2(AP+1/2BP)；
只需要求出AP+1/2BP的最小值即可。
做辅助线，将1/2BP进行转化。
以点B为顶点，作∠DBF=30°，交AC于点F；
过点P作PE⊥BF于点E；
连接AC，交BD于点O
在直角三角形PBE中，∠PBE=30°
PE=1/2PB
因此，AP+1/2BP=AP+PE，
只有当A、P、E三点共线时，AP+1/2BP取得最小，即为下图中AE长。
AE长该怎么求？
有很多种方法，可以用三角函数，AE=AB·sin∠ABE，AE=2sin75°。
也可以直接算出AE的长度，利用等面积法。
在三角形ABF中，AE·BF=BO·AF
BO=√2
BF=2√6/3
AF=AO+OF=√2+√6/3
可以求出，AE=(√2+√6)/2
所以，AP＋BP＋CP的最小值即为2AE=√2+√6 。
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