费邦镜  feibangjing@163.com  2022/03/23

摘要   引言

一、 “相对性原理”是指“运动的相对性”吗？

二、 为什么许多著名的物理学家，都曾倾向于“舍弃相对性原理”

三、 爱因斯坦精选出来的两个支持相对性原理的“普遍事实”，是事实吗？

§3.1 “相对性原理在力学领域高度准确”是事实吗？

§3.2 “地球的物理空间各向同性”是事实吗？

四、 为什么真正的“惯性定律”并不支持“相对性原理”？

§4.1 为什么伽利略认为“惯性运动”是“绕地心的匀速圆周运动”？

§4.2 为什么“沿直线的惯性运动”没有“物理机制”？

§4.3 “绕地心的匀速圆周运动” 拥有怎样的物理机制？

§4.4 怎样理解爱因斯坦的观点 —— 牛顿的运动定律是“微分定律”？

参考文献

　　

　　首先指出不可把“相对性原理”与“运动的相对性”混为一谈。

　　又论证了爱因斯坦用洪荒之力精选出来的两个支持 “相对性原理”的所谓“事实”都不是事实。

　　进而论证了1）伽利略发现的“惯性运动”是“绕地心的匀速圆周运动”，而不是“匀速直线运动”；2）伽利略提出的“圆周惯性定律”才是真正的“惯性定律”，而“牛顿第一定律”只是伽利略“圆周惯性定律”的微分形式，只“考虑在无限短的时间内发生了什么”！

　　因此真正的“惯性定律”与“相对性原理”并不吻合；换言之，“惯性定律”并不支持“相对性原理”！

　　

关键词：相对性原理，惯性运动，惯性定律，运动的相对性

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　　我们都知道，“相对性原理”是一个早已登上了物理学神坛的“根本原理”！

　　主流物理学家们都认为，“相对性原理”与“牛顿力学”配合得天衣无缝，甚至已“将相对性原理和对称性推广于全部基本物理学”！[1]

　　然而，哈佛教科书《力学引论》却评价：“在古典力学的发展过程中，相对性原理所起的作用不大；爱因斯坦却把它誉之为动力学的根本原理。”[2]  

　　麻省理工教科书《力学概论》也断言：“相对性原理在牛顿力学中的作用不大”。[3]

　　这怎么可能呢？ 如此神圣的“动力学的根本原理”，为什么“在牛顿力学中的作用不大”呢？ 

　　这个疑惑，让笔者对“相对性原理”产生了一丝怀疑。

　　有人讥讽：脑子错乱了吧，竟敢怀疑“相对性原理”！普天之下的“运动”，难道不都是“相对”的吗？

　　其实，怀疑“相对性原理”，并不是怀疑“运动的相对性”！

　　

　　

　　

　　有不少学者，甚至有的教科书，居然把“相对性原理”与“运动的相对性”混为一谈。[4]  其实，它们是两回事。

　　现在的中学生就已经懂得了一个很简单的、没有争议的道理：“自然界的一切物体都处于永恒的运动中，绝对静止的物体是不存在的。  就此意义而言，我们说运动是绝对的。 但是，描述某一物体的位置及其随时间的变化，却总是相对于其它物体而言的。这便是运动的相对性。”[5]

　　而“相对性原理”却远远比“运动的相对性”深奥！

　　严格地说，相对性原理有三个：力学相对性原理、狭义相对性原理、广义相对性原理。  这三者不是并立的关系，而是逐层包含的关系。

　　1）力学相对性原理 （又称伽利略相对性原理）

　　伽利略描述过封闭船舱里的一些力学现象：“使船以任何速度前进，只要运动是均速的，也不忽左忽右地摇摆。你将发现 …… 你跳向船尾不会比跳向船头来得远 …… 水滴将像先前一样，滴进下面的罐子，一滴也不会滴向船尾 …… [因此] 你无法从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动”。[6]

　　后人把这个结论提升为伽利略相对性原理 ——“在任何惯性系中，力学定律具有相同的形式”[7]  

　　2）狭义相对性原理 （通常都省略“狭义”二字）

　　（ 据费曼考证：“从历史上看，[狭义]相对性原理是在麦克斯韦方程组之后才发现的。事实上，正是对于电和磁的研究才最后导致爱因斯坦对[狭义]相对性原理的发现。”[8] ）

　　爱因斯坦把伽利略相对性原理的适用范畴，从力学扩展到了全部物理学，他定义：“自然规律在所有惯性系中具有相同的形式。这个定理称为 狭义相对性原理。”[9]

　　3）广义相对性原理 （通常都保留“广义”二字）

　　后来，爱因斯坦又把仅仅适用于惯性系的相对性原理，扩展到了适用于任何参考系，从而得到了广义相对性原理 ——“一切参考系都是平权的，物理定律在任何坐标系下形式都不变，即具有广义协变性。”[10]

　　然而，德国实验物理学家菲利普·莱纳德（1905年的诺贝尔物理奖得主），却断然摈斥“相对性原理”；[9]

　　爱因斯坦还告诉我们：“许多著名的理论物理学家比较倾向于舍弃相对性原理”；[11] 

　　《爱因斯坦全集》第七卷的“序”中甚至记载着：“在回答Erich Kreyschmann的批评时，爱因斯坦承认广义协变在物理上没有意义。相对性原理不再被陈述为任意参考系的等效性。”！[9] —— 这似乎证明，爱因斯坦对自己主张的“广义相对性原理”也有动摇！

　　显然，怀疑“相对性原理”并非怀疑“运动的相对性”！

　　

　　

　　19世纪后半叶，光速的精确测定为“光速的不变性”提供了一定的依据。同时，麦克斯韦建立了一个能完美描述电磁学基本定律的理论——麦克斯韦方程组。由这个方程组可直接导出真空中电磁波的传播速度c =1/√(ε0μ0)，其中的真空电容率ε0和真空磁导率μ0均是基本物理常量，都是普适的。因此普遍都认为，真空中电磁波的传播速度c当然也是一个普适常量。

　　北大赵凯华教授在《电磁学》中指出，过去并不知道这个常量c就是光速。但“从数值上看，这个常量c与已测得的光速吻合得相当好，由此，麦克斯韦得出这样的结论，光也是一种电磁波，c就是光在真空中的传播速度 …… 赫兹等人所做的大量实验事实从各方面证实了光确是一种电磁波。”[12]    这应该意味着，光速亦是一个普适常量。

　　凭此，爱因斯坦就把“光（在真空中）的速度c是恒定的”，“提升”为光的传播定律。[11]

　　爱因斯坦指出：“谁会想到这个简单的定律竟会使思想周密的物理学家陷入智力上的极大的困难呢？” …… 如果沿着路基发出一道光线，假定车厢以速度v在路轨上行驶，其方向与光线的方向相同，根据经典力学中的速度相加定理，光线相对于车厢的速度将等于c-v，这就出现了光速小于c的情况，这个结果，“与相对性原理是严重抵触的！ 因为，根据相对性原理，真空中光的传播定律，就象所有其他普遍的自然界定律一样，不论以车厢作为参考物体还是以路轨作为参考物体，都必须是一样的。”[11]

　　因此，十九世纪末的物理学家普遍认为，麦克斯韦方程组（包括光速的不变性）与相对性原理是严重抵触的；那么，这相抵触的二者，当然必有一错！ 问题是，应该保留麦克斯韦方程组，还是保留相对性原理呢？

　　一般人都认为，当然应该保留相对性原理 —— 它是如此的自然、简洁、对称、优美，且非常符合我们“舟行而人不觉”的生活经验。

　　但是，对于思想周密的理论物理学家来说，他们不会轻易相信什么“生活经验”—— 鉴于伽利略大船上那些力学现象的精确度，完全无法与大量的电磁学实验相比， 因此，麦克斯韦方程组当然比伽利略相对性原理，更值得信赖！

　　而且，物理学家们也知道：“在古典力学的发展过程中，相对性原理所起的作用不大。”[2]  所以，当时“许多著名的理论物理学家还是比较倾向于舍弃相对性原理。”[11]

　　让大家意外的是，爱因斯坦竟然“力排众议”，坚决主张：麦克斯韦方程组和相对性原理，这两者均应保留！ 

　　（ 现在普遍认为 —— 这正是爱因斯坦的睿智和非凡之处！ ）

　　那么，爱因斯坦凭什么如此“抬举”相对性原理呢？

　　

　　

　　爱因斯坦之所以不愿意“舍弃相对性原理”，那是因为他坚信，“有两个普遍事实在一开始就给予相对性原理的正确性以很有力的支持。”[11]  

　　爱因斯坦精选出来的这两个普遍事实是指：1）伽利略相对性原理在力学领域是高度准确的；2）地球的物理空间是各向同性的。  那就让我们来考证一下这两个“事实”。

　　

　　

　　爱因斯坦首先指出：“必须承认经典力学在相当大的程度上是真理 …… 因此，在力学的领域中应用相对性原理必然达到很高的准确度。”[11]

　　遗憾的是，爱因斯坦对这个“很高的准确度”并未给出任何具体事实！  而只是根据伽利略相对性原理作出了两个“断言”—— 断言一：“假如两个坐标系相对转动，那么力学定律不能在两者之中都有效。”[13] 

　　断言二：“假使有两个坐标系，相互作不等速运动，则力学定律不会在两者之中都是有效的。”[13]

　　然而非常不幸，笔者发现这两个断言均不符合事实！

　　请看下面五个事实：

　　1）力学定律在关联于地球的坐标系中非常有效，不然牛顿怎么可能参照地球，归纳、总结出力学定律呢？

　　2）爱因斯坦强调：“关联于太阳的坐标系比关联于地球的坐标系更象一个惯性系。”[13] 这当然意味着，力学定律在关联于地球和太阳的坐标系中都非常有效。

　　3）在月球上，宇航员们已证实了力学定律与地球上的一样有效。（见赵凯华《力学》（第二版）封面插图的说明）

　　4）爱因斯坦还强调：对于自由落体电梯内的观察者来说，力学定律是有效的。[13]

　　5）在自由飞行的航天器中，我国宇航员王亚平所做的力学实验，有力地证明了力学定律非常有效。

　　上述这五个坐标系，相互之间有的是“转动”，有的是“加速”…… 确凿无疑的是，它们相互之间“都”是在作“不等速运动”； 然而，力学定律相对于它们居然“都”非常有效！ 爱因斯坦的那两个断言，显然是错误的！

　　面对这些严重违反伽利略相对性原理的事实，怎么可以说该原理在力学领域已“达到很高的准确度”呢？

　　可见，爱因斯坦精选出来的这第一个支持相对性原理的“事实”，根本就不是事实！

　　有人反驳：上述五个坐标系中力学定律的“有效”，都是近似的，是绝不可以当论据的！ 殊不知，一切度、量、衡都是近似的，难道“近似的”就“绝不可以当论据”吗？

　　笔者特别赞同中科院秦荣先和阎永廉研究员的观点：“我们用精度很差的实验就可以否定一种理论，但是却不能用有限精度的实验最终证明一种理论。”[14] 

　　有人强调：任何理论都是有边界条件或适用范畴的！言下之意，上述这些违反相对性原理的事实，只是因为超越了相对性原理的边界条件或适用范畴。

　　遗憾的是，他们谁也没能指出，上述这些与相对性原理相抵触的事实，究竟超越了什么边界条件或适用范畴？

　　有人反诘：难道你能合理解释为什么“在地球、太阳、月球、自由落体电梯、自由飞行航天器这五个相互作不等速运动的坐标系中，力学定律都非常有效”吗？

　　笔者在预印本《牛顿用“水桶实验”究竟是为了证明什么？》中，已雄辩地论证了“牛顿力学的特选参考系就是运动物体所处的引力场”，[15]  分别参照这五个坐标系，也就是分别参照各自的引力场，力学定律当然不可能无效！

　　还有人诘问：那为什么“伽利略相对性原理”竟然能经受住人类几百年的“检验”呢？

　　其实，“伽利略相对性原理”非常类似于“地心说”，这两者都是近乎完美的“生活经验”。

　　柏拉图的学生欧多克斯，就是根据“生活经验”—— 太阳每天从东方升起西边落下 —— 提出了“地球静止不动”的“地心说”。 这个错误的“地心说”，竟然能经受住人类长达1600多年的“检验”！

　　这足以说明，在精度不严格的局部范围内很难“检验”出某些“生活经验”的毛病。 

　　但是，若把伽利略描述的那些封闭船舱内的粗略的力学现象，提升为“动力学的根本原理”，那么，我们已经看到，这个“原理”根本就经不起“检验”！ 

　　现在让我们再来考证一下爱因斯坦精选出来的第二个“事实”。 （ 没想到，这第二个“事实”，居然也不是事实！ ） 

　　

　　

　　爱因斯坦指出：“由于我们的地球是在环绕太阳的轨道上运行，因而我们可以把地球比作以每秒大约30公里的速度行驶的火车车厢。如果相对性原理是不正确的，我们就应该预料到，地球在任一时刻的运动方向将会在自然界定律中表现出来，而且物理系统的行为将与其相对于地球的空间取向有关 …… 但是，最仔细的观察也从来没有显示出地球物理空间的这种各向异性（即不同方向的物理不等效性）。这是一个支持相对性原理的十分强有力的论据。”[11]

　　爱因斯坦这段论述的逻辑非常清晰：如果能找到地球物理空间各向异性的证据，就可以证明“相对性原理”是不正确的！

　　然而，非常不幸！ 笔者居然找到了“两个”地球物理空间各向异性的铁证：

　　

　　

　　1728年，布拉德雷发现了恒星的“周年光行差”现象：为了能看到天顶的恒星，我们不能将望远镜绝对竖直地放置，而必须将望远镜轴线调整到偏向地球的公转运动方向，且向前倾斜20.5’’ 角度，望远镜的轴线在一年中将描画出一光行差圆锥。[16]

　　如果地球的物理空间是各向同性的，还有什么必要把望远镜轴线总是偏向地球的公转运动方向呢？

　　这当然证实了，地球的公转运动方向，与其他方向的物理性质是相异的。

　　

　　

　　中科院理论物理所张元仲研究员在《狭义相对论实验基础》中告诉我们：“1971年，Hafele和Keating ……将四只铯原子钟放到飞机上，飞机在赤道平面附近高速度向东及向西绕地球航行一周后回到地面，然后将飞机上的四只铯原子钟与一直静止在地面上的铯原子钟的读数进行比较，发现向东飞行时四只原子钟的读数比地球上的原子钟读数平均慢了59×10-9秒；而向西飞行时四只原子钟的读数比地球上的原子钟读数平均快了273×10-9秒。”[17]  这个著名的“原子钟环球航行实验”证实 —— 向东飞行的原子钟会变慢，而向西飞行的原子钟会变快！ 

　　这难道不就是直接证实了：地球的东、西两个方向的物理性质是相异的吗？

　　显然，上述两个地球物理空间“各向异性”的事实，都“十分强有力”地否定了爱因斯坦的那个“支持相对性原理的十分强有力的论据”！

　　至此，我们发现，爱因斯坦用洪荒之力精选出来的两个支持相对性原理的“事实”，居然统统都“违背事实”！

　　匪夷所思的是，尽管“相对性原理”严重地违背事实； 尽管有许多著名的物理学家都曾经倾向于“舍弃相对性原理”； 然而，当代的主流学界却依然坚信 —— “相对性原理”是完美的、神圣的！ 是万万不可“舍弃”的！

　　这是为什么呢？

　　南京大学林德宏教授道出了一个根本原因：“惯性定律说明静止与匀速直线运动都是物体在不受外力作用下，能不断维持下去的状态； 相对性原理则说明在静止与匀速直线运动这两种状态中，力学定律是相同的。 这就揭示了力学中的静止状态与匀速直线运动状态的等价性。”?[18]

　　因此大家都坚信 ——“相对性原理”与“惯性定律”的本质是相同的； 它们是相互支撑的； “相对性原理”与“惯性定律”吻合得天衣无缝 ！ 

　　—— 若舍弃“相对性原理”， 岂不是意味着还要舍弃牛顿力学的奠基石 ——“惯性定律”吗？ 

　　这显然太荒唐了！！！

　　其实，真正的“惯性定律”并不支持“相对性原理”！

　　

　　

　　　　

　　

　　现行教科书定义：“牛顿第一定律指出：孤立质点静止或作匀速直线运动。这样的运动常称惯性运动。”[1]

　　然而，近代物理学的开山鼻祖 —— 伽利略 —— 却认为“惯性运动”是“绕地心的匀速圆周运动”！ 

　　

　　

　　伽利略发现，当一个球沿斜面向下滚时，其速度增大，而向上滚时，其速度减小， 于是他推断：若无阻力，当球“沿水平面”滚动时，其速度应不增不减，球将永远滚动下去； 他还发现，相对地安置两个斜面，当球从一个斜面的顶端滚下后，即沿对面的斜面向上滚，并达到原来的高度，于是他推断：若无阻力，当后一斜面安置成“水平”时，球将永远滚下去。[19]

　　于是，1638年伽利略在《关于两门新科学的对谈》中归纳：“任何一个速度，一旦赋予了一个运动，就会牢固地得到保持，只要加速或减速的外在原因是不存在的。 这种条件只有在‘水平面’上才能见到，因为在平面向下倾斜的事例中，将不断地存在一种加速的原因；而在平面向上倾斜的事例中，则不断地存在一种减速的原因。由此可见，沿水平面的运动是永无休止的。”[20] 

　　那么，沿水平面的匀速运动，是指匀速直线运动吗？

　　否！早在1632年，伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》中就明确指出：“沿地平线的运动，既不向上也不向下，将是环绕一个中心的圆周运动”！[6] 还强调：“对一个既不向下也不向上的表面来说，它的各部分一定是和地心等距离的 ……平静的海洋上航行的船只，就是这样的一种运动体……要是排除一切外界的和意外的阻碍，它一旦获得冲力就会不停地以匀速运动”。[6] 

　　显然，伽利略认为 ——“惯性运动”是绕地心、沿圆周、速度均匀的！

　　因此，《西方科学史》指出：“伽利略的惯性原理，与笛卡尔的惯性原理或牛顿的惯性原理不同，必须把它称作为‘圆周惯性原理’。”[21]

　　可惜主流学界普遍认为，“圆周惯性原理”有欠缺！

　　清华郭奕玲教授指出： “真正明确提出惯性定律的是牛顿”! [22] 

　　华东师大朱鋐雄教授也指出：“牛顿改变了伽利略提出的‘物体会沿着水平方向永不停止地一直运动下去’的惯性运动的表述，明确提出惯性的运动是直线运动而不是水平运动。”[23]

　　然而，“沿直线的惯性运动”却有两个可疑之处 ——

　　第一个可疑之处： “沿水平面的惯性运动”，拥有“斜面实验”这个坚实的实验基础！ 相反，教科书却告诉我们：牛顿“第一定律不能直接用实验证明”，[7] 这应该意味着“沿直线的惯性运动”不能用实验证明！

　　第二个可疑之处： 迄今，居然没有一个人能说出“沿直线的惯性运动”具有怎样的物理机制！

　　

　　

　　费曼（1965年的诺贝尔物理奖得主）哀叹： “为什么它（惯性运动）能保持直线运动？我们不知道。”[24]

　　不少学者认为，“沿直线的惯性运动”无需物理机制，因为它的依据是神圣的“牛顿第一定律”！ 而“牛顿第一定律”是理想化抽象思维的产物，是作为“公理”提出来的，当然无需物理机制。

　　这种观点似是而非。  华东师大朱鈜雄教授说得好：“与欧几里得几何学的‘公理’不同的是，与几何学相比，物理学有着附加的约束：它必须与真实世界相符。”[23]

　　因此，在物理学中，即便是“公理”，也应该给出它的物理机制，否则，何以判断它与真实世界是否相符呢？

　　

　　

　　依据伽利略的“斜面实验”，惯性运动当然是绕地心、沿圆周、速度均匀的！ 那么，斜面实验中小球的这种运动，是否可能拥有物理机制呢？

　　让我们分别从以下两个角度进行分析：

　　1）从受力的角度：

　　理想的斜面实验中，小球仅受到竖直方向上两个力的作用，一是地心对小球恒定大小的引力，另一是平面对小球的支撑力。 原先都误认为这两个力是一对平衡力，其实不然 —— 正是这个恒定大小的“引力”与“平面支撑力”的“差”，为小球绕地心作匀速圆周运动提供了恒定大小的向心力。 可见，作“惯性运动”的小球并非所受合力为零。

　　笔者归纳：所谓“惯性运动”，就是“质点”在“恒定大小”的引力作用下，绕引力中心的“匀速圆周运动”。

　　注意：虽然维持“惯性运动”的“引力”是指向“引力中心”的，但“惯性运动的方向”，却是沿圆周的！

　　还必须强调：唯有“质点”在“恒定大小”的引力作用下所维持的“匀速圆周运动”，才是“惯性运动”！ 

　　而抛体运动、落体运动、开普勒椭圆运动，它们虽然也是物体在引力作用下所维持的运动，但是它们都不是“匀速圆周运动”，当然也就不是“惯性运动”。

　　很遗憾，受时代的限制，伽利略曾经误以为：行星是按“圆周轨道”作“等速运动”，进而误以为行星的运动也是惯性运动。[22] 

　　2）从机械能守恒的角度：

　　尽管理想的斜面实验中，在水平面上作匀速运动的小球受到了恒定大小的引力作用，但小球在引力方向上并没有位移，亦即该引力对小球并不作功。因此，匀速的（动能不变的）小球，为了机械能守恒，就只能在水平面（等势面）上运动。 可见，“惯性运动”一定是“绕引力中心”的“匀速圆周运动”！ 而不是“匀速直线运动”！

　　“惯性运动”的上述两种物理机制，可以相互印证！

　　这无疑是令人兴奋的 —— 在纠结了300多年之后，“惯性运动”总算拥有了清晰、合理的物理机制！ 我们总算找到了“为什么物体会按惯性而行”的原因！

　　且慢，有学者质疑，如果否定了“匀速直线运动”就是“惯性运动”，那岂不是意味着“牛顿第一定律” —— 这个神圣的“惯性定律” —— 也将被否定吗？ 

　　否！ 神圣的“惯性定律”，并不等同于伟大的“牛顿第一定律”！

　　

　　　　

　　

　　早在1927年，爱因斯坦在《牛顿力学及其对理论物理学发展的影响》中就指出：“伽利略已经在认识运动定律上作了一个意义重大的开端。他发现了惯性定律和自由落体定律 …… 但是应当注意，上面这两条陈述都是讲的整个运动，而牛顿的运动定律则回答这样的问题：在外力的作用下，质点的运动状态在一个无限短的时间内应该如何变化？只有考虑到在无限短的时间内发生了什么（微分定律），牛顿才得到一个适用于任何运动的公式。”[25]  

　　显然，爱因斯坦已认识到：1）“惯性定律”是伽利略发现的；2）“惯性定律”与“牛顿运动定律”有本质的区别 ——“惯性定律”是讲的整个运动；而“牛顿运动定律”是“只考虑无限短时间内发生了什么”的“微分定律”！

　　如果只是说第二定律是“微分定律”，那很好理解，根据F = dp / dt，第二定律正是动量定理的微分形式。[7]

　　但爱因斯坦没说清楚，这“牛顿的运动定律”是否也包括“牛顿第一定律”呢？ 如果“牛顿第一定律”也是“微分定律”，那它又是什么定律的“微分形式”呢？

　　笔者对此苦苦思索了很久很久 …… 

　　终于有一天，笔者想到了“微分”的几何意义 ！

　　——“局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。”[26]

　　这让笔者茅塞顿开 —— 伽利略依据“斜面实验”得到的惯性运动是“匀速圆周运动”，那是讲的整个运动； 而牛顿第一定律中的“匀速直线运动”，则是伽利略“圆周惯性定律”中“匀速圆周运动”的局部线性化 —— 只“考虑在无限短的时间内发生了什么”！

　　而且，根据“力学原理的分类原则”，[27]  牛顿第一定律同牛顿第二定律一样，都只能被归类为“不变分的微分原理”！  （请参阅笔者的预印本《为什么按牛顿运动定律会出现“混沌”？》[15] ）

　　因此，伽利略发现的“圆周惯性定律”才是真正的“惯性定律”！ 而“牛顿第一定律”则是“圆周惯性定律”的“微分形式”；“直线运动”只是“圆周运动”的微分近似！

　　这也就意味着，“静止”与“匀速直线运动”并不等价；真正的“惯性定律”，并不支持“相对性原理”！ 舍弃“相对性原理”，也并不意味着还要舍弃“惯性定律”！

　　看来，许多著名的物理学家都曾经倾向于“舍弃相对性原理”，是何等的英明啊！

　　

　　

　　

[1] 漆安慎、杜婵英，力学[M]，第三版，高等教育出版社，2012：2、63

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[3] 丹尼尔·克莱普纳，力学概论[M]，机械工业出版社，刘树新 译，2018：344

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[8] 费恩曼物理学讲义（第2卷）[M]，上海科学技术出版社，郑永令 等译,2013：157

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[14] 秦荣先、阎永廉，广义相对论与引力理论实验检验[M]，上海科学技术文献出版社，1987：3

[15] 费邦镜，牛顿用“水桶实验”究竟是为了证明什么？[L]、为什么按牛顿运动定律会出现“混沌”？[L]，《国家科技图书文献中心》【预印本】-【自然科学】-【物理学】 https://preprint.nstl.gov.cn/preprint/browse

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