初中数学五个基本尺规作图讲解

一．基本作图

一．     作一条线段等于已知线段

二．     作一个角等于已知角

三．     作已知角的角平分线

四．     作线段的垂直平分线

五．     过已知点作直线的垂线  1.点在直线上 ；  2.点在直线外

二．例题讲解

 1．已知: 角∠α，线段a, 线段b

求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b

　

b

a

）

α

 

 

 

2、已知：锐角△ABC，

求作：点 P，使PA＝PB，且点 P 到边 AB 的距离和到边 AC 的距离相等。                         

 

 

3.          已知：线段a、b，

求作ΔABC，使∠BAC=90°，BC=a, AC=b.

　　

 

 

 

 

 

 

4. 要在公路旁建一所小学，使A村、B村到小学的距离之和最小，请作出小学的位置。

 

 

 

5、一个圆形零件的部分碎片如图所示，试确定圆心并画出整个圆。

 

 

A

B

 

 

 

练习：作一条线段等于已知线段

　　2、讲解例题，熟悉语言

　　教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

　　前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的．

　　1．作一个角等于已知角

　　分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

　　已知： AOB

　　求作： 使 ＝ AOB

　　分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图2，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'．

　　由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”．

　　作法：1、作射线

　　2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

　　3、以点 为圆心，以OC长为半径作弧，交 于

　　4、以点 为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

　　5、经过点 作射线 。 就是所求的角

　　证明：连结CD、C'D'，由作法可知

　　△C'O'D≌△COD(SSS)

　　∴　 ∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等)．

　　即∠A'O'B'=∠AOB．

　　说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．

　　练习： 如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．

　　首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规．

　　然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作．在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件．

　　作法可让学生或教师作图，学生叙述作法．

　　让学生写出证明过程．

　　2．平分已知角

　　前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

　　分析：如图4， 假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

　　用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

　　怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

　　已知：∠AOB如图 5

　　求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．

　　作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

　　（2）分别以D、E为圆心，大于 的长为半径作弧，在 内，两弧交于点C．

　　(3)作射线OC．

　　OC就是所求的射线．

　　证明：连结CD、CE，由作法可知

　　△ODC≌△OEC

　　∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．

　　即∠AOC=∠BOC．

　　小结：

　　(1)基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁．

　　(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹)．

　　(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如基本作图中要写出“∠A'O'B'就是所求的角．”

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