因式分解在实际生活中的应用

因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．

一、提取公因式法的应用

例1  某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？

分析：总共有3300m的道路，

第一个月完成了34%，即完成了3300×34%

第二月完成了36%，即完成了3300×36%，

两个月共完成了3300×34%+3300×36%，

如果直接运算的话，显然麻烦些，如果将3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．

解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310

所以这两个月共完成2310m拓宽任务．

例2  在电学公式：U=IR₁+ IR₂ +IR₃，当R₁=12.9 R₂=18.5  R₃=18.6，I=2时，求U的值

分析：直接代入数值，U=IR₁+ IR₂ +IR₃=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式

解：当R₁=12.9  R₂=18.5  R₃=18.6，I=2时

U=IR₁+ IR₂ +IR₃=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100

评注：某些实际问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单．

二、平方差公式的应用

  例3  学校在一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130m²的草坪，够不够铺绿地？

分析：原有的面积为13.2²，四个正方形水池的面积为4×3.4²，剩余部分的面积为13.2²-4×3.4²，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单

解：依题意得13.2²-4×3.4²=13.2²-（2×3.4）²=13.2²-6.8²=（13.2+6.8）（13.2-6.8）=20×6.4=128

因为130>128     所以购买130m²的草坪，够铺绿地．

例4    一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“ ”，经测量这筒保鲜膜的内径φ₁、外径φ的长分别为 、 ，则该种保鲜膜的厚度约为_____（ 取3.14，结果保留两位有效数字）．

分析：圆筒状包装的保鲜膜展开与

未展开体积是相同的．

设厚度为xcm，展开时体积为

x×20×6000(cm³)

未展开的体积为

20×3.14× - 20×3.14×

解：设设厚度为xcm，依题意得

x×20×6000=20×3.14× - 20×3.14×

x×20×6000=20×3.14×（2.2²-1.8²）

6000x=3.14×（2.2+1.8）（2.2-1.8）

6000x=5.024

解之得  x=8.4×10^-4

评注：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式．

三、完全平方公式的应用

例5   达活泉公园有一块长为51.2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽1.2m，问剩余绿地的面积是多少？

分析：用整块绿地的面积减去小路的面积

就是剩余绿地的面积

解：51.2²-（2×1.2×51.2-1.2²）

=51.2²-2×1.2×51.2+1.2²

=（51.2-1.2）²

=50²

=2500

所以剩余绿地的面积为2500m²

评注：由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式．

四、因式分解的综合应用

例4 （05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x²+y²)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 ，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：　　　(写出一个即可)．

  分析：按照原理，需把4x³y-xy³分解因式，再代入求值，就可以产生密码

解：4x³y-xy³=x(4x²-y²)=x(2x+y)(2x-y)

当x=10，y=10，各因式的值是：x=10，(2x+y)=30，(2x-y)=10

又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010

评注：在进行因式分解时，首先提取公因式，然后再考虑用公式，注意每一个因式要分解彻底．