幂平均不等式
               
        幂平均（power mean）也叫广义平均（generalized mean）或赫尔德平均（Hölder mean），是毕达哥拉斯平均（包含了算术、几何、调和平均）的一种抽象化。

 

 

定义[编辑]

如果 http://upload.wikimedia.org/math/d/e/6/de6f4263116f32c6962bca4968513b5c.png 指数为 p 的幂平均为

http://upload.wikimedia.org/math/3/4/4/344662e769b0f9e1c8a3f89da0a75779.png

性质[编辑]

• 和所有平均一样，幂平均是各参数 http://upload.wikimedia.org/math/d/e/6/de6f4263116f32c6962bca4968513b5c.png 的幂平均。
• 与几何算术平均一样，这种平均的计算可以分解成同样大小的子块来计算。

http://upload.wikimedia.org/math/1/a/6/1a63ffcdfbe1de75b8b183031b5ffc39.png

幂平均不等式[编辑]

一般地，如果 http://upload.wikimedia.org/math/3/0/1/301c3a12f2040b8bdc85b9c50d33a9af.png。这由事实

http://upload.wikimedia.org/math/b/9/d/b9d5de567cb748cda915022b5fd84c34.png

得出，上述不等式可由延森不等式证明。

特别地，对 http://upload.wikimedia.org/math/2/d/4/2d439baa805befff760e98c9790230d7.png，幂平均不等式蕴含了毕达哥拉斯平均不等式以及算术几何平均不等式。

特例[编辑]

• http://upload.wikimedia.org/math/c/3/d/c3d6326cc887b02952402857ed349b10.png - 最小值，
• http://upload.wikimedia.org/math/5/8/4/584716a3d3c81e0173b4c72566886755.png - 调和平均，
• http://upload.wikimedia.org/math/1/9/7/19708e12b2415065c5a016ac70704570.png - 几何平均，
• http://upload.wikimedia.org/math/c/9/9/c99045b82f565a8f235cd5a541c5b46f.png - 算术平均，
• http://upload.wikimedia.org/math/5/a/4/5a484d59af9061f208cf7ee2f153fa12.png - 二次平均，
• http://upload.wikimedia.org/math/4/f/3/4f348e2c6790ae580722ff94a1e256e6.png - 最大值。

幂平均不等式的证明[编辑]

不同符号的不等式之等价[编辑]

假设指数 p 与 q 的幂平均间有不等式：

http://upload.wikimedia.org/math/a/a/f/aaf527f74a3221176661ef2a45bf25b6.png

则

http://upload.wikimedia.org/math/7/1/6/716080fb5706e2893948471c8eecb636.png.

我们在两边取倒数（正实数上的严格递减函数，不等号反向）：

http://upload.wikimedia.org/math/c/b/8/cb80bdc2545387893dbe20b78ccdc1f0.png,

我们得到了关于 -p 与 -q 的幂平均不等式，同样的推理可以倒推，从而证明了两个不等式等价，这在后面的证明中将用到。

几何平均[编辑]

对任何 q，指数为 q 的幂平均与几何平均之间的不等式为：

http://upload.wikimedia.org/math/e/9/3/e9331950868db5367d2d6d22a248c0c2.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/4/2/d4257acf73dc135bf22ae995953c3948.png

（第一个不等式对正数 q，第二个对负数）

我们在两边取 q 次幂：

http://upload.wikimedia.org/math/3/b/9/3b968433c18e402309d00da423022e16.png

两种情形我们都得到关于 http://upload.wikimedia.org/math/2/f/1/2f1b078dbf1bbe0a7bfa5f567c655e81.png 的加权算术几何平均不等式，这可以用延森不等式证明，利用对数函数是凸函数的事实：

http://upload.wikimedia.org/math/3/b/3/3b3d6fc14da0724080f8276450ee4a43.png

http://upload.wikimedia.org/math/5/a/4/5a4ae94a151b70451aeaace4019e9f17.png

两边取指数函数（严格递增），我们得到了不等式：

http://upload.wikimedia.org/math/e/6/3/e636fec05e01df75961c5cda40610834.png

从而对任何正数 q，下式成立：

http://upload.wikimedia.org/math/e/e/4/ee45269c4b76f31275f1c9deb31e539f.png

因为此不等式对任何 q 成立，足够小同样成立，可以将证明（利用洛必达法则），当 q 趋于 0 时，左右两边趋于几何平均，q 趋于 0 时的幂平均是几何平均：

http://upload.wikimedia.org/math/7/3/0/73063f1608697098d1e2675b11060a81.png

幂平均不等式[编辑]

我们将证明对任何 p<<I>q 如下不等式成立：

http://upload.wikimedia.org/math/9/b/1/9b157a693d23371a3254b94a2b80f6b9.png

如果 p 是负数且 q 是正数，不等式等价于上面已证过的

http://upload.wikimedia.org/math/0/6/1/061970cd370a5bb653677871df5254a5.png

对正数 p 与 q 的证明如下：定义函数 http://upload.wikimedia.org/math/b/2/8/b285938dd7ce6e83a972c2d12ecd6c9f.png，在 f 的定义域内严格正，因为 q > p，从而我们知道 f 是凸的。

利用这一点以及延森不等式，我们得到：

http://upload.wikimedia.org/math/a/f/5/af5bcab31e0e2edbd72af16cf65f54c2.png

http://upload.wikimedia.org/math/6/d/9/6d97ca2a9c054ecde304699e75539928.png

两边取 1/q 次幂（递增函数，因 1/q 为正数）我们得到了欲证之不等式：

http://upload.wikimedia.org/math/9/b/1/9b157a693d23371a3254b94a2b80f6b9.png

最后使用先前证过的等价性，我们得到了关于负数 p 与 q 的不等式，证毕。

最小值与最大值[编辑]

此段最后将证明当指数 p 趋于 http://upload.wikimedia.org/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png 的幂平均为最大值与最小值。从而应该有：

http://upload.wikimedia.org/math/e/2/a/e2abea95703cb4d53b86673b45690678.png

对最大值证明如下：不失一般性假设序列 x_i 非减且全不为零。则不等式等价于：

http://upload.wikimedia.org/math/f/9/d/f9d6fd90e5feddcb18bc8e9e28346a5e.png

两边取 q 次幂，我们得到不等式（取决于 q 的符号）：

http://upload.wikimedia.org/math/c/5/c/c5c6e6c63cc35e5f9daa273c091ebbea.png

若 q>0 为 ≤， 若 q<0 为 ≥。

两边同时减去 http://upload.wikimedia.org/math/c/a/9/ca90f967054ddd908db5fe33c5fdb374.png 我们得到：

http://upload.wikimedia.org/math/0/a/a/0aa1f87de3830119e19a5115df3c1f81.png

除以 http://upload.wikimedia.org/math/3/a/0/3a0db5bbeeaed766f9792011a90b1f8e.png：

http://upload.wikimedia.org/math/7/b/d/7bd37a927642ebd54037a8d94f1cfdc2.png

1 - w₁ 不为零，从而：

http://upload.wikimedia.org/math/a/e/1/ae178ceab41a6c2512cba8def491eae5.png

减去 x₁^q 剩下：

http://upload.wikimedia.org/math/6/f/4/6f4919aa86d5f64a1fc352bb391aed4e.png

这是显然的，因为 x₁ 大于或等于任何 x_i，从而

http://upload.wikimedia.org/math/a/a/e/aae273d6c6c0944aa7473fe11a593c58.png

对最小值证明几乎相同，只不过将 x₁、w₁ 换作 x_n、w_n，证毕。

另一方面，当 q 大于零时，由简单的推理以及上面的不等式有

http://upload.wikimedia.org/math/8/7/3/873e66a77c03606759694357c6e50bb1.png

令 http://upload.wikimedia.org/math/1/6/7/167acaa4774278ff6e6b97d7718e8a8c.png。最小值的证明完全类似。

广义 f-平均[编辑]

幂平均可以推广到更一般的广义 f-平均：

http://upload.wikimedia.org/math/b/4/5/b4562e8a13969d587542fa8238fa8c25.png

例如这包括了几何平均而勿需使用极限。幂平均是由 http://upload.wikimedia.org/math/8/f/8/8f8b0accd92af99d60eb680e82b5a0ed.png 得到的。

应用[编辑]

信号处理[编辑]

幂平均作为一个非线性移动平均。对于小 http://upload.wikimedia.org/math/8/3/8/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png 值，幂平均则会强调大信号值。给予一个高效率移动算术平均的实施函数，称为 smooth ，工程师可以按照下述 Haskell 代码，设计一个移动幂平均实施函数：

powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a] powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

• 对于大 http://upload.wikimedia.org/math/8/3/8/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png 值，这可作为一个整流信号的包封检测器（envelope detector）。
• 对于小 http://upload.wikimedia.org/math/8/3/8/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png 值，这可作为一个质量谱的基线侦测器（baseline detector）。

参见条目[编辑]

• 平均
• 平方平均
• 算术平均
• 几何平均
• 调和平均
• 海伦平均（Heronian mean）
• 勒默平均（Lehmer mean）——也与幂有关。
• 算术几何平均不等式

外部链接[编辑]

• Power mean at MathWorld
• Examples of Generalized Mean
• A proof of the Generalized Mean on PlanetMath
• 平均论
•   
•  
• 更多：  http://zh.wikipedia.org/wiki/幂平均数