用几何画板绘制函数图象的基本技法

 

李善佳（韶关学院数学与信息科学学院）

 

      在用几何画板辅助数学教学的过程中，常常涉及到函数图象的绘制. 熟练掌握绘制函数图象的方法，对提高数学教学效率很有帮助. 本文通过实例来系统总结绘制函数图象的五种技法.

一、直接法

例1  画函数y=sinx在R上的图象.

操作步骤：单击“图表”菜单下“绘制新函数”f(x)=sinx（如图1）.

http://s6/bmiddle/90d5e101hb24d09f205f5&690
图1

二、轨迹法

例2  画函数y=(1/4)x^2在区间[-2,3]上的图象.

操作步骤：

（1）单击“图表”菜单下“绘制点”C(-2,0)，D(3,0)，构造线段CD；

（2）选中线段CD，单击“构造”菜单下“线段上的点”构造点E；

（3）选中点E，单击“度量”菜单下“横坐标”得点E的横坐标x_E；

（4）单击“度量”菜单下“计算”，计算y值；

（5）依次选中x_E、y值，单击“图表”菜单下“绘制(x,y)”，得点F；

（6）选中点E与F，单击“构造”菜单下“轨迹”，得函数在区间[-2,3]的图象（如图2）.

 

http://s15/bmiddle/90d5e101hb24d13079aae&690

图2

三、参数法

例3 绘制二次函数y=-x²+2x+3的图象.

操作步骤：

（1）单击“图表”菜单下“新建参数”a=-1，b=2，c=3；

（2）单击“图表”菜单下“绘制新函数”f(x)= =-x²+2x+3（如图3）.

 

http://s11/bmiddle/90d5e101hb24d13d615ca&690

图3

改变参数a、b、c的值（可在选中后按“+”或“-”键），可以动态地探索与发现抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴的变化过程.

四、辅助函数法

对于分段函数，可以引入符号函数sgn(x)，把分段函数“粘合”成一个函数解析式. 符号函数定义是：当x＞0时，sgn(x)=1；x=0时，sgn(x)=0；x＜0时，sgn(x)=-1.

例4 画下面函数的图象。

http://s1/middle/90d5e101xb2205a15c4b0&690

操作步骤：

（1）单击“图表”菜单下“新建参数”a=1，b=3（设定区间分界点）；

（2）单击“图表”菜单下“新建函数”f(x)=3-(x-1)²，g(x)=4-x，h(x)=；

（3）单击“图表”菜单下“绘制新函数” （如图4）.

 

http://s13/middle/90d5e101xb2205e65fcdc&690

图4

绝对值函数abs(x)是另一种辅助函数。

例5  画下面函数的图象.

http://s13/middle/90d5e101xb220841e4b5c&690
操作步骤：

（1）单击“图表”菜单下“新建函数”f(x)=sinx，g(x)=cosx；

（2）单击“图表”菜单下“绘制新函数” .（如图5）

 

http://s12/middle/90d5e101x7836708b086b&690

图5

说明：例1与例5的图象均在弧度制下绘制，故须预先单击“编辑”菜单下“参数选项”，把角度单位用弧度表示.

有限区间的函数图象，也可以采取辅助函数法。

例6  画函数 在区间[-2,3]的图象.

只须把例4中的两个参数与三个函数分别变为a=-2，b=3，f(x)，g(x)，h(x) （如图6）.

 

http://s11/middle/90d5e101xb2206927d46a&690

图6

说明：f(x)与h(x)也是辅助函数，当x＜a时，f(x)没有定义；x＞b时，h(x)没有定义. 因此，最后画出的只是区间[a,b]上的图象.

五、变换法

1. 平移

一个平移就是一个向量，对于函数图象的平移，采取“标记向量”较为简单.

例7 绘制与例4图象相同，而位置可任意改变的函数图象.

操作步骤：

（1）用轨迹法绘制例2的图象（同例2）；

（2）用“点工具”任作两个点A、B；

（3）选中点A、B，单击“变换”菜单下“标记向量”；

（4）选中点F，单击“变换”菜单下“平移”，选择“标记”选项，得到 ；

（5）选中点E与 ，单击“构造”菜单下“轨迹”，得到原函数图象按向量 平移的图象（如图7）.

 

http://s15/middle/90d5e101xb22069cfbf6e&690

图7

说明：拖动点A或点B，就可以把图象按向量AB任意平移.

2. 反射

例8 绘制与例2的图象关于任意直线对称的图象.

操作步骤：

（1）用轨迹法绘制例2的图象（参见例2）；

（2）用“直尺工具”绘制直线AB；

（3）选中直线AB，单击“变换”菜单下“标记镜面”；

（4）选中点F，单击“变换”菜单下“反射”，得到点 ；

（5）选中点E与 ，单击“构造”菜单下“轨迹”，得到原函数图象关于直线AB对称的图象（如图8）.

 

http://s10/middle/90d5e101xb2206ddf0069&690

图8

3. 旋转

例9 绘制与例2的图象绕任意点旋转任意角度的图象.

操作步骤：

（1）用轨迹法绘制例2的图象（例2）；

（2）用“点工具”任作点A，选中点A，单击“变换”菜单下“标记中心”；

（3）单击“图表”菜单下“新建参数”，设置参数t，单位设置为“弧度”，选中t，单击“变换”菜单下“标记角度”；

（4）选中点F，单击“变换”菜单下“旋转”，在“旋转参数”中选择“标记角度”，按“确定”得到F'点；

（5）选中点E与F'，单击“构造”菜单下“轨迹”，得到原函数图象绕点A旋转t角度的图象（如图9）.

 

http://s3/middle/90d5e101xb2206ce26192&690

图9

    直接法最为简单，它是辅助函数法的基础.

       轨迹法是变换法的基础.

      参数法可渗透到其他方法中，便于图象生成与演示图象的变化，更好的体现“动态几何”特征.