分解质因数教学建议及技巧

  人教五年级教材下未将“分解质因数”及最大公因数和最小公倍数作为教学主要内容，只是在分数的意义和性质中提及，主要是“你知道吗？”有说明。当然，在约分和通分中由于需要应用所以讲叙了最大公因数和最小公倍数。

  但分解质因数是最大公约数和最小公倍数的基础，而熟练掌握分解质因数方法的学生对于约分和通分将得心应手，同时也有利于解答一些较疑难的问题。所以提出教学分解质因数的建议，希望能得到重视，以利于学生能力的提高。

 

  教材中56面“你知道吗？”讲到分解质因数。

 “每个合数都可以由几个质数相乘得到。例如：4=2×2，15=3×5，30=2×3×5……

  其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。”

  并提到分解和短除法。

  短除法学生知道即可，我希望学生能熟练地应用“分解”。

 

  首先是必要的基本功，在学生学习乘法表时就应培养学生反过来背的能力（如果没有就补，就是再背乘法表，不过要加几等于几乘几）。如二三得六，六等于二乘三或三乘二。然后进行发散思维训练。利用乘法表能很快将一个数分解成两个数相乘（如12=1×12=2×6-3×4…）。

  学生具备应用乘法表把一个数分成两个数相乘的能力用途是很大的，首先在除法试商时就会很轻松。而以后的约分也就比较容易。

 

   下面用来分解质因数。方法很简单，就是利用乘法表把一个合数分解成两个数相乘，检查这两个数是否是质数，把不是质数的再分解，直到都是质数时为止，再把这些质数按从小到大的顺序写成连乘的形式。如：

 6=2×3，15=3×5…

 30（五六三十，六不是质数，六等于二乘三）则30=2×3×5

 24（24可以是3×8，而8=2×2×2，于是24=2×2×2×8；24还可以是4×6，而4=2×2，6=2×3，于是24=2×2×2×3.）

   ……

 由于小学需要分解的大多在100以内，所以应用乘法表分解的方法基本上足够，关键是方便和特别快。(如果是较大的数，可以利用是否是2，3，5的倍数多分几次，太难的对于小学生来说就没有必要做了。）

 巩固练习：把50以内（包括50）的合数从小到大分解质因数：

   （4=2×2，6=2×3，8=2×2×2，9=3×3，10=2×5，12=2×2×3，……）

 还可以用以下方法（100以内）：

因为100以内不是2，3，5，7的倍数就是质数，那么100以内的合数就一定是2，3，5和7的倍数，所以100以内的合数分解质因数时，先分成2，3，5和7的几倍（利用2，5，3倍数的特征很容易看出来）。再看这个几倍是否质数，如不是再分。

分类：一个合数如末尾是0，只需把0前面的数分解，再乘2乘5，（如60，6=2×3，则60=2×2×3×5）

           一个合数末尾是5则先分5。

           合数是偶数先分2。

           各位数字的和是3的倍数就分3。

          顺序是先0（2×5），再5，然后2，最后3。一般是能很快的把100以内的合数分解质因数的。…

倍数法：记住20以内的质数和合数的分解，20以外的必然是20以内数的倍数，是几倍添上乘几，如几倍是合数就再分成几乘几。（也可只几10以内，这样较大的数就要多分几次）

  总之，在进行一些分解的练习后，学生是能很快的分解出100以内的合数分解质因数。

 

 学了分解质因数还必须会归纳：

只含质因数2的：

   2，4.，8，16，32，64，128，…

只含质因数5的：

   5，25，125，…

既含2，又含5，但只含2和5：

   10，20，40，50，80，100，…

只含质因数3的：

3，9，27，81，…

    以上四类是需要记住的，因为用途较大。譬如在分数化小数时。如果分母（最简分数）是1），2），3）类中的数，则化成的是有限小数，而且小数的位数同于所含质因数的个数（既含2，又含5的只看其中一个最多的).如分母是8的分数化成三位有限小数。（8是三个2相乘）

 

 涉及到的有关问题：

几何倍增：在只含质因数2的一列数前面添上1，就得到

  1，2，4，8，16，…，2ⁿ

  这在中学被称为2的几次幂（几次方），1是2的0次方，2是1次方…。也是所谓的“几何倍增”，后面的数是前面数的两倍。（用公式表示就是2ⁿ）

  这列数见证了数学的奇迹。最著名的就是

1，“棋盘问题”：

“ 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相：西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为：

1 + 2 + 4+ 8 + ……… + 2的63次方 = 2的64次方-1 = 18446744073709551615（粒）

人们估计，全世界需要500年生产这么多麦子！”

  这也是数字巨人的故事，当连续翻倍（倍增)时,数大到无法想象。

 

2，“砝码问题”：

  在天平的一边放砝码，如果要称1克到15克的重量，最少需要几个砝码？

   解：需要因为1+2+4+8=15，所以只需要1克，2克，4克和8克4个砝码就可以称1到15克各种不同的重量。

注：一边放砝码时2的n次幂前n项的和。如果可以两边放砝码，则是3的n次幂前n项的和（1，3，9，…3ⁿ）。如可以两边放砝码，则用4个1，3，9和27克的砝码就可以称1到1+3+9+27=40克不同的重量。

 

3，打电话问题：

   打电话问题再教材五年级下册102面。问题是：

  “一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。

  解:教材上有比较的过程，我们换一种思路就是老师通知1个人后就是2个人（包括老师教，运用倍增，2个到4个，4个到8个…于是

1+2+4+8=15，所以最快只需要4分钟。（其实这题看可看成砝码问题的变形。）

因为是倍增，所以可利用公式计算：

K=2ⁿ-1，这里k是人数，n是通知时间，因为15=2⁴-1，所以需要4分钟。因为小学未学习幂，所以可以用2倍增的数对应，比15大的2的倍增数是16，而16是4个2的连乘积。所以需要4分钟。

教材上问题:如果一个合唱团有50人，最少花多长时间通知到每个人？

解：比50大的2的倍增数是64，64是6个2的连乘积，所以要6分钟。

 

4，小白鼠问题：

   “100个小白鼠排成一排编成1到100号参加选拔，然后按1，2，1，2…报数，第一次报1的全部淘汰，剩下的再按1，2，1，2，…报数，报1的淘汰，这样一直下去，直到最后剩下1个为止，这个小白鼠就是幸运小白鼠，那么这个小白鼠是原来1到100号编号的第几号？”

  解：因为每次都是报1的淘汰，那么最后剩下的就是原来1到100号中含因数2最多的，也就是64.所以幸运小白鼠是原来的64号。

 

 “几何倍增”被称为“世界第八大奇迹”。应用极大，特别是在商业尤其是金融市场上更是体现倍增的力量。所以让学生了解和掌握是大有好处的。