鸡兔同笼问题解法归纳和探讨

 

   小学人教版四年级下册数学广角为“鸡兔同笼”。讲述了中国古代的数学趣题---“鸡兔同笼”问题。原题是:

  题1，笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

 鸡兔问题条件为已知两数量的总量和及单量和以及两个单量，由于条件没有直接的关联，解答比较困难，特别是小学生。

 下面就鸡兔同笼问题解法作一归纳，希望能共同探讨。

一，方程法：

1，方程组：

   解：设 鸡有x只，兔有y只。

       则得      x+y=35

               2x+4y=94

于是       x=23，y=12

2，一次方程

解  设 兔有x只。则鸡有 35-x 只

          则 4x+2（35-x）=94

                        X=12   35-12=23

3，不定方程

解  设兔有x只，鸡有y只

    则  4x+2y=94

     此不等方程整数解为

      X=1，2，3，…  y=45，43，41，…

    当x增加1时，y减少2，x+y减少1，

    当x=1时，y=45，x+y=46, 46-35=11，于是

    但x+y=35时，x=1+11=12，y=45-11×2=23

注1：（方程法比较容易，但需要有方程的基础，小学生往往不具备。这里不定方程

的解法是是作为一种算法的探讨，不作为用来解题。）

 

二，算术解法：（算术方法是小学生解答题目的主要方法）

4，假设法

    1） 假设全部是鸡（或兔）计算出脚的总差，

2） 用总差除以鸡，兔脚的每份差就得到兔（或鸡）的只数。

 注：1，这里用到 总差÷每份差=份数 的公式

2，设鸡算出是兔的只数（因为设鸡计算是兔的脚的差）

  用以上方法计算题1的两种综合算式是：

  解1，兔  （94-2×35）÷（4-2）=12， 鸡 35-12=23。

  解2. 鸡  （4×35-94）÷（4-2）=23， 兔 35-23=12。

    注2：假设法是解答鸡兔及其相关问题的基本通用解法。适用于所有已知两数量的总量和及单量和以及两个单量问题。

 

5，特殊法（特殊法只能解答单一的鸡兔问题，也就是单量是2和4的）

1）口诀一：兔为总腿数除以二减去总头数。则原题为

     兔   94÷2-35=12，   鸡 35-12=23

 

2）口诀二：鸡为总头数乘以二减去总腿数除以二。则原题为

     鸡   35×2-94÷2=23， 兔 35-23=12

 

3）口诀三：总腿数减去总头数再减去总头数的差除以二得兔。原题为

     兔  （94-35-35）÷2=12. 鸡 35-12=23.

 

6，其它

1）鸡兔互换

  题2，鸡兔同笼，鸡和兔共有46条腿，如果把鸡与兔的数量互换，那么，总数变成38条。原来鸡兔各有几只？

   解1：抓住关键数量互换，那么原来与互换后合起来鸡兔的总数就可以看成是（2+4）条腿，相差就是（4-2）条腿，

  于是鸡兔的总数是  （46+38）÷（4+2）=14（只）

      鸡兔相差      （46-38）÷（4-2） = 4（只）

  因互换后腿总数少，说明鸡少于兔，于是

     鸡有  （14-4）÷2=5（只）

     兔有  （14+4）÷2=9（只）

             答：鸡有5只，兔有9只。

   解2：互换总头数不变，而每只兔的腿数是鸡的2倍，所以互换腿数差是头数差的2倍。

         头数差 （46-38）÷2 = 4（只）

         于是  兔（ 46+2×4 ）÷（4+2）=9(只）  鸡 9-4=5（只）

          或   鸡（ 46-4×4）÷（2+4）=5（只）  兔 5+4=9（只）

    注：利用和差问题解。

 

2）每份差

题3，笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，鸡的腿比兔的腿多10只。鸡，兔各有几只？

  解：分析，假设都是鸡，则腿有2×35=70只，因为原来鸡比兔的腿多10只，所以假设后实际多70-10=60只，这时用兔换鸡，因为兔有4只腿，鸡有2只，每换一个，鸡减少2只，兔增加4只，实际多的腿就少了（2+4）只，于是60里包含有多少个（2+4）就是有多少兔。

  解1， 假设都是鸡，则兔为 （2×35-10）÷（4+2）=10（只） 鸡 35-10=25（只）

          验算：2×25-4×10=10

也可假设都是兔，不过这时需要补上10只。

  解2， 假设都是兔，则鸡为 （4×35+10）÷（4+2）=25（只） 鸡 35-25=10（只）

  解3，鸡腿多10只相当于鸡 10÷2=5（只）

        腿数比 4;2=2;1，头数比1;2，则

              兔 （35-5）/（1+2） ×1 =10（只）

              鸡 （35-5）/（1+2） ×2+5 =25（只）

  解4， 当腿数相等时鸡是兔的头数的2倍，则

兔  （35-10÷2）÷（1+2）=10   鸡35-10=25（只）

 注：解4最简单。

巩固：题4，鸡兔共100只，鸡脚比兔脚多20只，问：鸡兔各有多少只？

  解：用解4，兔 （100-20÷2）÷（1+2）=30（只） 鸡 100-30=70（只）

 

 3）倒扣问题

   题5，数学竞赛共10题，对一题得8分，错一题扣4分，小红得了56分，她答对了几题？

   解1：这类问题的关键是如果错1题，不仅该得的8分没有得，反而倒扣了4分，所以如果设都对，则错1题要相差（8+4）分，则

   设都对，总差是 8×10-56，而每份差是 8+4，于是

假设都对，错题为 （8×10-56）÷（8+4）=2题， 对 10-2=8题

 验算：8×8-4×2=56

 

解2，设没错，则对 （4×10+56）÷（8+4）=8（题）

 

7，分组法：分组法适于解答较难但条件对称的问题，如

  题6，100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。求大，小和尚各有多少人？

  解：因为小和尚3人吃一个，涉及到分数，对四年级的学生来说直接用假设法是不好处理的。于是寻找特点，发现“大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。”是对称的，也就是如果有1个大和尚和3个小和尚（总数3+1个和尚），刚好吃掉了3+1个馒头，也就是4个（1+3）和尚对应4（3+1）个馒头，这样只需把和尚和馒头按（1+3）分组就行了，有多少组就有多少个大和尚和3倍的小和尚。于是

   大和尚 100÷（3+1）=25个，小和尚 100-25=75个

      验算：3×25+1×（75÷3）=100个馒头

 也可以按馒头分组先求出吃的馒头，

   大和尚吃 100÷（3+1）×3，  小和尚吃100÷（1+3）×1

 

三，其它解法探讨：

 8， 对应解答：

1）  原题1，一只鸡和一只兔腿的和是 2+4=6，94÷6=15…4，也就是说94只腿对应15只鸡和15只兔还余4条腿，4条腿可以是2只鸡或1只兔，即94条腿可以是17只鸡和15只兔。（也可是15只鸡和16只兔）

而17+15=32.与35相差 35-32=3，因为如腿数不变，则增加2只鸡就减少1只兔，所以鸡为17+3×2=23，而兔为 15-3×1=12.

解1：94÷（2+4）=15…4 则

        94=2×（15+2）+4×15 或（94=2×15+4×（15+1） 即

        94=2×17+4×15 或 94=2×15+4×16

   因35-（15+16）=4，则 兔 16-4=12， 鸡 35-12=23

解2：94÷4=23…2

      94=4×23+2×1， 23+1=24，35-24=11，于是

     兔 23-11=12，鸡 1+11×2=23

 

2） 题7，全班一共有38人，共租了8条船，每条大船坐6人，小船4人。每条船都坐满了。大，小船各租了几条？

      解1：  38÷（6+4）=3…8， 因为8=4×2 ， 3+2=5

则  38=6×3+4×5   而3+5=8  即  

    大船 3条，小船 5条。

      解2：38÷6=6…2 （2不是4的倍数）

                =5…8

           38=6×5+4×2，5+2=7，因6;4=3;2，即2条大船人数相当3条小船人数，于是

   38=6×（5-2）+4×（2+3），所以

   大船 5-2=3条， 小船 2+3=5条。

 

   3）每份差，原题3，解1：多10只，10=2×5. 因为二只鸡腿相当一只兔腿，所以

                 10=2×（5+2）-4×1

                   =2×7-4×1   因差不变，所以被减数，减数同时增加

             而35-（7+1）=27  27÷（1+2）=9，于是

                兔 1+9=10， 鸡 7+2×9=25.

       解2，  2×35-4×0=70，70-10=60，60-35=25，35-25=10 即

               10=2×25-4×10，于是

                鸡 25只，兔 10只。

 

    4）分组， 原题6，解：（1+3）个和尚吃（3+1）个馒头

         100÷（3+1）=25   100=25×1+25×3，于是

      大和尚 25×3÷3=25（个） 小和尚 25×1×3=75（个）

 

5）倒扣，原题5，

解：56÷8=7，对应错 10-7=3，而得8分是扣4分的2倍，而3=1+2，于是

    56=8×（7+1）-4×2， 则

          对（7+1）=8（题），错 2题。

         注：被减数减数同时增加差不变，所以 3=1+2

 

6）互换，原题2，

解： 互换为总头数不变，总腿数增加（或减少），因为4是2的2倍，所以互换后的总腿数与原腿数的差是头数差的2倍。

于是头数差为  （46-38）÷2= 4

 46÷4=11…2  则

  46 =4×11+2×1，而 11-1=10， 10-4=6

=2×（1+2）

=2+4    .于是

   兔  11-2=9（只） 鸡 1+4=5（只）

    

注：对应的解法实质是有余数的除法和分解。也是用小学的有余数的除法的方法解答不定方程的整数解的尝试。

 对于如何已知两数量的总量（和或者是差），不论是已知每份数求份数还是已知份数求每份数都能较容易地解答，特别是比较复杂的尤为简单。                

 

  编后：归纳和提出一些新的解法，是想对鸡兔同笼这一古老的问题有新的认识。对于小学生来说，解答问题不应是“会”和求出结果，更重要的是通过解答掌握分析问题的方法，提高思维能力。

   如果只是求答案，记住“口诀一”就行了，既简单又快。但机械的方法对思维是没有什么帮助的。

只有了解了“假设”法，思维才上升了一个台阶，因为可以运用“转换”去分析。

提出“方程”，学生了解到，数学解答有如此广阔的天地。

归纳，比较，是重要的数学能力，希望以上的解答，能有所帮助。

提出其它解法，是因为数学的思维是“变”而不是墨守成规。当遇到处理某些较难问题时，可以转换一下角度去思考，而有些简单的方法，拓展后也许会派上用场。

对以上的方法不建议完全了解，但希望其中的某一点能对分析问题有些帮助。