河内塔问题解答

   人教版四年级上册111面带？的题为：如图所示（图省略）：有编号为1、2、3号的三根杆子，在1号杆上有呈金字塔状排列的三颗珠子，你能借助2号把1号杆上的珠子移到3号杆而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？

移动规则是：

每次只能移动一颗珠子；大珠子不能放到小珠子上面。

如果（1）号杆上有4个珠子呢？

本题为著名的河内塔问题（汉诺塔）源于一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

河内塔问题是通过操作的智力游戏，学生通过操作发现和总结规律，一般教学方法较多，这里提供一种逆推的方法：

1）不管哪种方法最关键的就是利用2号杆，当2号杆上是小，中珠子时，1号杆上的大珠子就可移到3号的最下面。这就完成了最重要的一步。

2）所以只需要找到1号杆上的小，中移到2号杆上的方法和步骤就行了。方法是1小到3，1中到2，再3小到2。这样共三次。（小结：从一个杆移动两个珠子到另一个杆（不改变珠子的上下顺序）共要三次。

3）1号杆上的大珠子移到3号杆，要一次。

4）重覆2），把2号杆的小，中移到3号杆要三次。（小到1，中到3，小到3）

移动3个珠子的最少次数是3+1+3=7次。

5）如果（1）号杆上有4个珠子，那么最后是2）号杆上有3个珠子，据前面要7次，然后1）号杆上最大的移到3）号1次，再把3个珠子移到3）号又是7次，于是共 7+1+7=15次。

6）小结：移动2个珠子的次数是1+1+1=3次，

         移动3个珠子的次数是 3+1+3=7次，

         移动4个珠子的次数是 7+1+7=15次

             ……

  注：这种方法很简单，只需记住2个珠子的移动方法重覆就行了，缺点是要计算后面多的珠子次数必须先算出前面的。所以下面用归纳法。

  观察上面规律，可以看到移动的次数是

1（1个）；3（2个）；7（3个）；15（4个）…

而1=2-1；3=2×2-1；7=2×2×2-1；15=2×2×2×2-1；…

也就是说，要移动几个珠子，次数就是几个2连乘的积减1.（由于四年级学生未学乘方，所以不能用几次幂）

于是： 移动1个珠子的次数是 2-1=1次

         移动2个珠子的次数是 2×2-1=3次

         移动3个珠子的次数是 2×2×2-1=7次

         移动4个珠子的次数是 2×2×2×2-1=15次

              ……

         移动n个珠子的次数是 2×2×2×2…-1 （n个2） 次

附：1）2的连乘的积当2较多时是一个很大的数，所以64个金片事实上搬不完，所以世界也不可能消失。相同的故事还有“棋盘问题”,当64个格子都按要求放满谷子时，需要全国土地作物七年的收成…

2）与2的连乘相关的还有很多有趣的问题，如砝码问题，用4个砝码最多能称多少克的重量?(用1克，2克，4克，8克四个砝码就可称1到15（2×2×2×2-1）克各种不同的重量。