谈“中国剩余定理”小学解法

   昨天问题解答二中所涉题目属于“中国剩余定理”，也称为鬼谷算，还叫隔墙算，或称为韩信点兵等。

   “中国剩余定理”是公元5-6世纪、我国南北朝时期的一部著名算术著作《孙子算经》中的一个“物不知数”的解法问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？答曰：二十三。

  解法后来归结为口诀诗： 三人同行七十稀，

                                      五树梅花廿一枝，

　                     　          七子团圆月正半，

                                      除百零五便得知。

  这诗的口诀的解法是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就得到所求的数。

  如上题解：70×2+21×3+15×2=233， 233-105×2=23

  但这种解法比较局限，只能是除以3，5，7的，其它的就无法解。

  “中国剩余定理”实质是初等数论解一元一次同余式方程组，按小学培优是不定方程组，这对于小学生来讲，无疑过于深奥和复杂。

   所以小学涉及到的题目往往比较特殊，因而可以分类使用特殊简单的方法解答。当然一般复杂的也可使用稍复杂的通解，现整理如下：

  第一类：余数相同或除数与余数的差相同，那么解答的方法是：

          除数的公倍数加上相同余数或 除数的公倍数减去相同的除数与余数的差。再根据要求加，减公倍数。

   如：题1，一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余2，除以7余2，这个数是几？

      解，最小是2，加上（3，5，7）的公倍数105得

              2+105=107.

     题2，一个数一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个数是几？

     解，3-2，5-4，7-6的差是1，所以 （3，5，7）的公倍数105减去1得

             105-1=104

  昨天问题解答题：一列队伍中的人数比20多，比30少。按1，2，3，4报数，最后一个人报3，按1，2，3报数，最后一个人报2。这列队伍的人数是多少？

解，差是1，在20到30之间，4和3的公倍数24减1 得

    24-1=23

第二类，部分同第一类，分两步，先按第一类解答出第一步，在试算出第二步。

   如，题3. 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

   解，第一步，除以3余2，除以7余2.则3，7公倍数加2 得 21+2=23.

       第二步，用23试除5正好余3.于是 这个数是23.

     （如果除以5余4，第一次试除不行，则加上3，7的公倍数21再试除，直到符合为止，如23+21=44，则符合，对于除以5，排除余数2，最坏的可能是3次。再就是看余数，第一次的结果23除以5余3，到余4只需加一次21）

  注：5的余数的顺序是0，1，2，3，4。

  第三类：余数均不同，这类题比较复杂，需要先找出参数。参数是指两两的公倍数除以另一个余1的数。（如除以3，5，7的，参数就是1）3的参数是5，7的公倍数除以3余1的数是70；2）5的参数是3，7的公倍数除以5余1的数是21；3）7的参数是3，5的公倍数除以7余1的数是15。

然后用各自的参数乘以余数在加起来，再按要求加减总公倍数。

 题4，一个数除以3余1，除以4余3，除以5余2，这个数最小是几？

   解，3的参数4×5×2=40，4的参数3×5×3=45；5的参数3×4×3=36。则

       40+45×3+36×2=247   247-（3，4，5）×4=7

      这个数最小是7.

（这题也可简单一点就是，4，5的公倍数除以3余1的是40，而3，5的公倍数除以4余3的是15，而3，4的公倍数除以5余2的是12，所以只需 40+15+12=67，再减去60就得7。所以这种方法就是找到三个数，两两的公倍数分别满足另一个除以几余几。然后三个数加起来再按要求加减总公倍数。）

当然，第三类的解法属于通用解法，可适用于一，二类，不过比较复杂。

附：不定方程的简单解法：

  题4:一个数除以3余1，除以4余3，除以5余2，这个数最小是几？

解：3a+1=4b+3=5c+2，取 3a+1=4b+3 则

                              3a=4b+2

                       当b=1，时，a=2. 则

                         3a+1=4b+3=3×2+1=7 于是

                            5c+2=7 ，c=1方程成立，于是这个数是7。

较难题：一个数除以5余1，除以7余2，除以9余5，这个数最小是几？

 解：5a+1=7b+2=9c+5，取 5a+1=7b+2 则

                               5a=7b+1

                         当b=2时，a=3， 则

                          5×3+1=7×2+2=16  于是

                          9c+5=16无解，则

                          9c+5=16+5×7k

                             9c=11+35k

               当k=2时，c-9，于是  9c+5=9×9+5=86，这个数是86。

  小结：“中国剩余定理”类题目虽然比较难和复杂，但也不是完全没有规律可循，还可以增加兴趣和激发勇于探讨的乐趣，对于小学生来说，可以采取分类的方法，这样大多数的题就比较容易。如果采用不定方程的简单解法，显然又是一片新的天地。