简单的排列与组合--小学生

  二年级教材数学广角出现简单的排列与组合，现提供教学参考。

  有一家三口（爸，妈和小明）外出游玩。他们沿途拍了好多照片。先是爸爸替妈妈和小明照，小明发现，他要么在妈妈的左边或者妈妈在他的左边，从位置上看，只能有两张不一样。同样爸爸和妈妈照，也只能有两张不一样。

  这时爸爸问小明：如果我们三个人，每次照相只有两个人，那么位置不同的相片一共可以有多少张？

  小明想刚才和妈妈一起是两张，爸爸和妈妈也是两张，还有没有？还有可以和爸爸，应该也是两张，于是一共是2+2+2=6张。

  爸爸又问你肯定没有算掉？小明想起爸爸教的要按顺序，就按爸爸，妈妈和小明自己排：先是爸爸和妈妈2张，再是爸爸和小明2张，爸排完了是妈妈和小明也是2张，这样一共是2×3=6张。小明高兴地回答：肯定对。

  这时妈妈说，你刚才是按人算的，还有别的方法吗？小明摇了摇头。妈妈就告诉他，还可以按位置排，左边的位置可以排爸爸，那么右边的就可以是妈妈和小明2张，左边的位置除了爸爸外还可以是妈妈和小明，一共是种选择，而每一个对应的右边是2张，所以一共是3×2=6张。

  小明恍然大悟，兴奋地对妈妈说，你这个方法真好，既快又不容易错。

  小明最后和爸爸一起总结：如果三个人照相，每次两个人，按位置不同的相片的方法有两种。

  一种是按人，把每次的两个人排列出来，为了不重覆和遗漏，一定要按顺序，最后把各种都加起来，这种方法简单易懂，但人数较多就非常麻烦；

  还有就是按位置，也是要按顺序从左到右或从高到低，先看最左（或最高）位置上有几种选择，再看右边（第二高）上还剩几种（譬如一共甲，乙，丙三种，最高选了甲，那么次高就只能选乙和丙，剩两种）---，然后依次把种数乘起来。

  熟悉了以上就可以解答课本上相关的题。

 

  例1，用1和2能写成几个各位数字不同的两位数？如果数字可以相同呢？

     解1，各位数字不同的

       1）可以是12和21共1+1=2个两位数。

       2）十位上有1和2两种选择，个位上只有一种种选择（十位上选了1，那个位就只有2一种选择）于是2×1=2种选择。

     解2，数字可以相同的

        1）可以是11，12和21，22共2+2=4（个）

        2）十位上有1和2两种选择，由于数字可以相同，个位上也有1和2两种选择，则共有2×2=4（个）

 

  例2，用1，2，3能写出几个各位数字不同的两位数？如果数字可以相同呢？

     解1，各位数字不同的

        1）可以是12，13；21，23和31，32 共有共有2+2+2=6（个）

        2）十位上有1，2，3三种选择，个位上只剩下两种选择，则共有3×2=6（个）

     解2，数字可以相同的

        1）可以是11，12，13；21，22，23和31，32，33 共有3+3+3=9（个）

        2）十位上有1，2，3三种选择，个位上也有三种选择，则共有3×3=9（个）

  小结：提供了两种解答方法，必须都熟练掌握，1）第一种为枚举法，就是把所有可能出现的情况都罗列出来，记住一定要有顺序并一步步，这样才能不遗漏，然后把所有的都加起来。这种方法明暸可适用所以题目，但如果数字较多，就非常麻烦，所以难题一般不用。

        2）第二种为归纳法，就是依次（一般从高到地）把各位数位上最多的选择找出来，然后连乘起来。这种方法较难理解，不过解法简单，再难再多的数字也比较容易，不过有些题不能用。如

 

  例3，有钱伍角的一张，贰角的两张，1角的5枚。买一个5角的练习本，有几种付钱的方式？

解，只能枚举

    从大到小，伍角的1张一种；贰角的2张加1角的1枚和贰角的1张加1角的3枚共两种；1角的5枚一种。 共1+2+1=4（种）

注意，不论那种方法解题的关键是必须按一定的顺序，一般依次从大到小或从高到低，强调依次不能随意。

 

练习：

 1.三种颜色的信号旗，任意两种排成一列，可以组成多少种不同的信号？如果任意三种排成一列又能组成多少种不同的信号？

 2.四种颜色的信号旗，计算出任意两种排成一列，任意三种种排成一列的信号数？

 

附竞赛难题两道（只适合中高年级和有兴趣的学生，一般不必做）

 1，用0，2，5，8四个数字可组成多少个各位数字不同的三位数？

解，百位不能为0，只有三种选择，十位少了1个也是三种，个位二种，

    共 3×3×2=18（个）

 2，4000到7000之间，有多少个各位数字不同的5的倍数的四位数？

   解，5的倍数个位上只能是0和5，

      当个位是0时，千位有4，5，6三种，百位有八种（十个数字去掉千位的严重和个位的0，剩下八种）十位有七种，个为0一种，为3×8×7×1

      当个位是5时，千位有4和6两种（个位是5，千位就不能是5）.百位八种，十位七种，个位5一种，为2×6×7×1

      总共有 3×8×7×1+2×8×7×1=5×8×7=280（个）

 

  下面谈谈“组合”。

   在开始的照相中，如果不算左右的位置，只算三个人中，其中两个人同时出现的只算一张，那么总张数就只有按位置的一半，也就是3张，这就是组合。由于组合大多时候并不是排列的一半，譬如三个人同时出现，按位置是3×2×1=6（种）而不按位置就只有1种。所以简单的组合我们还是按顺序的枚举（在以后的中学再学习由排列到组合的归纳法）

 

  例4，有红，黄，白三种颜色的花，每两种扎成一束，有几种扎法？

   解： 按顺序从红开始，可以有红黄，红白和黄白共三种。

 

  例5，甲乙丙丁四个人，每两人握一次手，一共要握多少次？

   解：按顺序从甲开始是3次（甲乙，甲丙，甲丁），到乙2次，到丙一次，共

       3+2+1=6次

       因为每次是两人，也可以按排列归纳来算

       4×3÷2=6次

  

 练习：1，甲，乙，丙三个人，每两个人握一次手，共要握几次？

       2，3个人进行乒乓球赛，每两人赛一场，共要赛几场？

       3，两种上衣和两条裤子，有几种搭配穿法？（2+2=4种）

       4，一条直线上有四个点，那么线段的总条数是（      ）（3+2+1，3×2，4×3÷2）

  竞赛题：

      

    1.参加世界杯足球赛共有16支球队，分成四个小组进行小组进行循环赛，一共要进行多少场比赛？

   解：每个小组有球队16÷4=4（只）

      四支球队进行循环赛的场次是：每2个队赛1场共3+2+1=6场。或4×3÷2=6场

      16支球队共6×4=24场

2.某条铁路支线共有6个车站，那么这条铁路需要准备多少种不同的车票？

     （5+4+3+2+1）×2，6×5÷2×2  ，（6-1）×6÷2×2

3，平面上有5个点，每2个点可以连一条直线，那么一共可以连多少条直线？

   4+3+2+1， 5×（5-1）÷2

 

附注：我力求简单地说明排列与组合，没有使用加法和乘法原理，更没有涉及排列与组合的计算公式，因为对小学生来说显然不太适合。但强调了枚举和归纳，这都是数学重要的逻辑思维方法，希望小学生能逐步由浅入深，慢慢接触和熟悉。

     数学的学习不在于会解题，重要的是通过题目了解数学的逻辑思维方法，从而提高数学的逻辑思维能力。

    我希望每一个数学教师再教一个内容和一道题时问问自己，我教给了学生的思维方法吗？也希望每一个学生在学完一个内容和一道题是能检查自己，不是仅仅会做而是学到了什么，能力有多少提高？