上海大学插班生高等数学A基本要求

(一）函数、极限、连续        （  18  学时）

（1）理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

（2）了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

（3）理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会建立简单函数关系式。

（4）掌握基本初等函数的性质和图形。

（5）理解极限的概念（对 ， 证明中，仅掌握一次不等式放大（缩小）的应用），了解分段函数的极限。

（6）掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

（7）掌握极限存在的二个准则，并会利用它们求极限。

（8）理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

（9）理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

（10）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

（二）    导数与微分           （  14    学时）

（1）理解导数的概念（包括左、右导数）导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间关系。

（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。会求分段函数的一阶和二阶导数。

（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。掌握初等函数的二阶导数的求法。

（4）会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。

（5）了解微分的概念和四则运算。

（6）会用导数描述一些简单的物理量。

（三）  中值定理与导数的应用  （  14   学时）

（1）理解并会应用罗尔定理、拉格朗日定理，利用定理能求方程的根、证明不等式。了解柯西定理（泰勒公式在级数中讲授）。

（2）理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。

（3）会用导数描绘图形（包括水平、垂直渐近线）（利用凹性证明不等式不作要求）。

（4）会求最大值、最小值的应用问题。

（5）掌握洛必达法则求未定式极限的方法。

（6）了解曲率、曲率半径的概念，并会计算。

（7）了解求方程近似解的二分法和切线法。

（四）    不定积分            （  14  学时）

（1）理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。

（2）掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法（对有理函数的待定系数法分解，不作过高要求）。

（五）  定积分及其应用        （  18  学时）

（1）理解定积分的基本概念，定积分中值定理。

（2）理解变限函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式。

（3）掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法。

（4）了解定积分的近似计算方法(梯形法和抛物线法)

（5）掌握定积分在几何上应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面为已知的立体体积），和物理上应用（质量、变力作功、引力、压力和函数的平均值）。

（6）了解广义积分的概念，会计算广义积分。

（六）   级数                 （  24  学时）

（1）理解常数项级数收敛与发散的概念、收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数、P－级数的敛散性。

（3）掌握正项级数的判别法（比较法、比值法、根值法）。

（4）会用交错级数的莱布尼兹判别法。

（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及二者之间的关系。

 

（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

（7）掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法。

（8）了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9）了解泰勒公式、泰勒级数，掌握 、 、 、 、 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开幂级数。

（10）了解幂级数在近似计算中的简单应用。

（11）了解博里叶级数的概念及函数展开成傅里叶级数的狄利克莱定理。

（12）会将定义在[ ， ]、[ ]上函数展开为傅里叶级数、会将定义在[0， ]、[0， ]上函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

（七） 向量代数和空间解析几何 （  18   学时）

（1）理解向量的概念及其表示。

（2）掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两向量垂直、平行的条件。了解向量的混合积。

（3）掌握单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

（4）掌握平面方程(点法式、截距式、一般式方程)、直线方程（参数式方程、对称式方程、一般式方程）、会用平面直线的相互关系解决有关问题。

（5）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

（6）了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解它在坐标平面上的投影，并会求其方程。

（八）  多元函数微分学        （  16  学时）

（1）理解多元函数的概念

（2）了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

（3）理解偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用。

（4）理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

（5）掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

（6）会求隐函数(包括方程组确定的隐函数)的偏导数。

（7）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

（8）理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

（九）  重积分                （   14  学时）

（1）理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

（2）掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

（3）会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、立体的体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。

（十）  曲线积分与曲面积分    （   14  学时）

（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质，了解两类曲线积分的关系。

（2）掌握计算两类曲线积分的方法。

（3）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

（4）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系。

（5）掌握计算两类曲面积分的方法。

（6）了解高斯公式、会用它来计算曲面积分。

（7）会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、功及流量）。

（十一）  微分方程            （   16 学时）

1．了解微分方程及解、通解、初始条件和特解等概念。

2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

3．会解齐次方程，伯努利方程和全微分方程、会用简单变量代换解某些微分方程。

4．会用降阶法解下列方程：y ⁽ⁿ⁾= f (x)，y″= f (x , y′)，y″= f (y , y′)。

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7．会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解（自由项由多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和、积构成）。

8．会解二阶欧拉方程。

9．会用微分方程解一些简单的应用问题。