加载中…【集体备课】六下《数学思考》
(2016-06-05 06:08:11) 本节教材的主要内容有：利用数形结合找规律、列表推理、等量代换、简单的几何证明，都是发展学生逻辑推理能力的典型素材。四个例题的具体内容与对应推理类型如下。
|
例1 |
找规律 |
合情推理 |
|
例2 |
列表推理 |
演绎推理 |
|
例3 |
等量代换 |
|
|
例4 |
简单的几何证明 |
从表中不难发现，这四个例题，素材不同，形式各异，但是教学内涵是一样的，那就是其中蕴含的推理的思想方法。实际上，本套教材从二年级起每册安排“数学广角”单元，作为数学最基本的思想──推理，教材一直是有步骤、有层次地进行呈现：例如，三年级下册的排列组合、四年级下册的鸡兔同笼，可让学生体会观察、归纳、枚举等合情推理的方法；二年级下册的逻辑推理、六年级下册的鸽巢问题等内容则让学生学习简单的演绎推理的方法。正是在此基础上，教材在六下的整理和复习阶段，再次设置相关内容。希望通过这些内容的教学，让学生在推理方面得到更多的训练，进一步发展逻辑推理能力和解决问题的相关能力。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》下同）的主要区别
与实验教材相比较，本节教材在编写上有了较大调整，主要表现在以下几个方面：
（一）《义务教育数学课程标准（2011年版）》将小学教育各学段的内容统一划分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域。实验教材把“数学思考”编排在“数与代数”一节中。新教材在四大领域的框架基础上，将“数学思考”编排成独立的一节，凸显了新教材对数学思想的重视。
（二）删除实验教材渗透乘法原理的例6“选送节目”，增加本教材例3“等量代换”和例4“简单的几何证明”两个例题。这样的编排以合情推理、演绎推理为载体，让学生经历发现规律、应用规律的过程，感受简单的数学证明，更系统地体会和掌握了数学的基本思想和方法。
（三）新教材对数学思想和方法的作用进行了更明确的诠释，如在一开始就指出“数学思想和方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。”而后引导学生回忆“你能举例说一说你知道哪些数学思想和方法吗？”调动了学生的原有认知，为学习新知奠定基础。
（四）增加了例1、例2后“做一做”的习题，有利于学生理解巩固数学思考，增强应用意识。
二、教材例题分析
（一）找规律
例1要求平面上几个点可以连多少条线段，让学生通过寻找增加的点数和增加的线段数之间的关系，是一个以几何内容为载体逐步发现规律的例题。此题的编排目的是为了让学生通过动手操作、观察比较，归纳得出其中的规律，推理出两者的关系，发展合情推理思想。
例题以“6个点可以连多少条线段？8个点呢？”为例，让学生在尝试初期感受连线的混乱，从而产生“从简单入手”的自主需求，同时也经历“化繁为简”的数学思考过程。而引导学生“从2个点开始，逐渐增加点数，找找规律”，让他们在增加点的同时，有顺序地连线，并记录线段增加的条数，有利于学生理解其中的原理，逐步发现规律。而将不同点数连成的线段数用算式表示出来，可使规律进一步显现并清晰，为学生表述规律提供支撑。“根据规律，你知道12个点、20个点能连多少条线段吗？请写出算式。”既是规律的运用，也可以借此提炼计算方法。“想一想，n个点能连多少条线段？”可以提升学生的数学表达能力，发展代数思想。“做一做”是经典的“正方形数”（也就是“平方数”），每条边上棋子数的平方就是棋子的总数。
（二）列表推理
例2通过列表的方法，逐步缩小与A同班的人的范围，最终确认唯一符合要求的人。这种不断排除矛盾、推出必然结果的思维方式，是一种演绎推理。
例2对于学生来说是一个比较复杂的逻辑推理问题，教材引导学生“用列表的方式试一试”，意图借助列表逐步缩小范围，找到答案。此题让学生体会逻辑推理的常用策略“排除法”。在表格中，“1”和“0”分别代表“到会”与“缺席”。通过列表的方法，可以直观、清晰地呈现已有信息，有利于学生整体把握信息之间的联系，推理得出结论。随后引导学生“想”介绍了依据表格完整推理出A、D必然同班的过程，其实质就是两人不可能同时参会，也不会同时不到会。依据这种思路，学生可以自己推理出B、C分别与谁同班，进一步感受列表分析的优势。教材中的“做一做”是新增加的内容，既可以列表解决问题，也可以直接推理。例如，因为丁叔叔不是工人，那么他只能是教师或军人。如果他是教师，那么他和王阿姨就职业相同，这与“只有刘阿姨和李叔叔职业相同”产生矛盾，由此可以得出丁叔叔是军人的结论。
（三）等量代换
例3是等量代换的内容。等量代换指的是把一个量用与它相等的量去代替。这种思想是演绎推理的基础，在《几何原本》中，第一条公理就是“等于同量的量彼此相等”。
例3，利用等量代换进行推理，为中学学习解方程做准备。第（1）小题实际上就是解二元一次方程组的代入消元法。寻找两个式子中的共同量，通过代入求值，就是一个演绎推理的过程。例3的第（2）小题，以一个简单的数学问题，引导学生经历有理有据地进行推理的过程，感受推理的严谨性。此题的推理过程，已初显“形式化证明”的样子，也是为例4的学习进行铺垫。此题中，等式两边同时减去☆，利用的是等式的性质。而最后一步，实质是利用了等式的传递性（即：若a=b，b=c，则a=c）进行推理，这是一种关系推理。这些性质就是数学证明中最常用的“公理”。
（四）简单的几何证明
例4是一道经典的用演绎推理来进行证明的几何题。
例4实质上是一道初中学习所要接触到的“对顶角相等”的证明题目。但是此处的编排，并非真正意义上教学的“几何证明”，而是仅仅让学生初步感受运用一些“公理”（如等式的性质）进行数学推理的过程。例3为例4的推理提供了知识基础，同时也需要学生综合运用平角的概念、三角形内角和是180°等知识解决问题。不要求学生学会书写规范严谨的证明过程，但需要学生学会用“说理”的方式证明结论。
以“推理”为主线的这几个编排内容，可以让学生系统经历从一般到特殊（归纳）、从特殊到一般（演绎）的思维发展过程，深刻感受推理的价值。教材的编排注重体现思维发展的过程，并在多处呈现一些启发式的问题，给予醒目恰当的提示、点拨和指导，引导学生经历并理解推理的过程，帮助学生掌握分析方法、积累学习经验，形成思想方法。
在学生学习数学的过程中，任何看似浅显的数学知识后面都蕴含着丰富的数学思想。让学生在解决问题的过程中经历数学思考的过程，体会掌握其中的数学思想，是重要的教学目标。
一、找规律
突破建议：引导操作，经历中感受思想。
本单元的内容的重难点之一，是让学生发现隐藏在题目中的规律，以及经历发现结论的过程。例1找规律的教学，重点是学习归纳推理的思想，使学生通过观察直观图，发现点与点之间的线段数量与点数之间的变化模式。从具体情境中发现模式，并将这一模式应用于更一般的情况，这一过程是培养归纳推理思想的重要途径。例题的可操作性比较强，对学生的吸引力也很大。因此在教学中可以让学生动手试一试，在尝试的过程中慢慢发现突破的方向和解决问题的策略。只有自己实践过，探究过，积累的经验才会更加丰富，对思想的感悟才会更加深刻。教师可直接呈现“8个点可以连多少条线段？”的问题，让学生自己动手画一画、数一数。大部分学生都会遇到数不清、混乱的情况。学生经历了连线与数数的过程，会感受到无序带来的困扰，才会产生有序思考、从简单情况入手的愿望，从而感悟“化繁为简”的必要性。在反馈后，教师可以提出“点数增加与线段条数增加有什么关系？”的问题，组织学生发现教材中用“虚线表示的增加线段与点数”的联系，进而推导出规律。这样的过程就是思维逐步发展、思想方法逐步积累的过程。
二、列表推理
突破建议：重在引领，释疑中掌握方法。
教学的有效性和教师的组织、引导密切相关。本单元的内容相对思维含量较高，对于学生难度较大，在一些节点处和关键处，特别需要教师发挥这方面的作用。对于例2问题的呈现，学生可能思维混乱，甚至对题意理解不清从而无从下手，也很难想到列表的方法。此时，教师应重视引导，可以用“为了更清楚地表示他们的关系”为由引出列表，并先示范填上第一次的情况（符号也可以用√和×），并进行简要分析。如此一来，学生看到了一种解决问题的好策略，就产生了模仿使用的愿望，后续的填写可让学生自己进行，使学生的学习得以朝着目标有序行进。在学生填写完成后，教师再指导学生从不同角度经历推理的过程，从而在解决问题的过程中感受列表法的优越性。当然，例2除了让学生掌握列表这一特殊问题的问题解决策略，更重要的是让学生在解决问题过程中掌握逻辑推理的思考方法。
三、等量代换与简单的几何证明
突破建议：依托直观，从感性走向理性。
例3与例4，学生有能力自己解决，关键在于让学生把思考的过程表达清楚。面对“○+☆=160，◎+☆=160 ”和例4的两条直线相交，学生凭经验与直觉，就会得出○ =◎及∠1=∠3的结论。显然，教师要依托学生的这种直观经验，也应立足这样的基础上展开教学。然而，倘若学生不能依据条件用有逻辑的数学语言表达清楚，就没有达到例题编排的目的。所以更重要的是，基于学生已经得出的结论，追问“为什么？”。如此，学生的思维才可能走向理性，才能实现应有的教学目标。因此，在学生解释的过程中，教师应帮助学生自主梳理推理的过程，如：依据是什么？为什么可以这样推理？当然，实际教学中，不要求学生会书写规范严谨的证明过程，但需要学生会用“说理”的方式证明结论，这种方式实质上是帮助学生从直观的感性走向思考的理性。
【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第91页例4及练习十八第1～3题。
【教学目标】
1．通过学生观察、探索，使学生掌握数线段的方法。
2．渗透“化难为易”的数学思想方法，能运用一定规律解决较复杂的数学问题。
3．培养学生归纳推理探索规律的能力。
【教学重、难点】
引导学生发现规律，找到数线段的方法。
【教具、学具准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、游戏设疑，激趣导入。
1．师：同学们，课前我们来做一个游戏吧，请你们拿出纸和笔在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段。（课件出现下图，之后学生操作）
2．师：同学们，有结果了吗？（学生表示：太乱了，都数昏了）大家别着急，今天，我们就一起来用数学的思考方法去研究这个问题。（板书课题）
【评析】巧设连线游戏，紧扣教材例题，同时又让数学课饶有生趣。任意点8个点，再将每两点连成一条线，看似简单，连线时却很容易出错。这样在课前制造一个悬疑，不仅激发了学生学习欲望，同时又为探究“化难为简”的数学方法埋下伏笔。
二、逐层探究，发现规律。
1. 从简到繁，动态演示，经历连线过程。
师：同学们，用8个点来连线，我们觉得很困难，如果把点减少一些，是不是会容易一些呢？下面我们就先从2个点开始，逐步增加点数，找找其中的规律。
师：2个点可以连1条线段。为了方便表述我们把这两个点设为点A和点B。（同步演示课件，动态连出AB，之后缩小放至表格内，并出现相应数据，如下图）
师：如果增加1个点，我们用点C表示，现在有几个点呢？（生：3个点）
如果每2个点连1条线段，这样会增加几条线段？（生：2条线段，课件动态连线AC和BC）那么3个点就连了几条线段？（生：3条线段）
师：你说得很好！为了便于观察，我们把这次连线情况也记录在表格里。（课件动态演示，如下图）
师：如果再增加1个点，用点D表示（课件出现点D）现在有几个点？又会增加几条线段呢？根据学生回答课件动态演示连线过程）那么4个点可以连出几条线段？（生:4个点可以连出6条线段。课件动态演示，如下图）
师：大家接着想想5个点可以连出多少条线段？为什么？（引导学生明白：4个点连了6条线段，再增加1个点后，又会增加4条线段，所以5个点时可以连出10条线段。课件根据学生回答同步演示，如下图）
师：现在大家再想想，6个点可以连多少条线段呢？就请同学们翻到书第91页，请看到表格的第6列，自己动手连一连，再把相应的数据填写好。（学生动手操作，之后指名一生展示作品并介绍连线情况，课件演示：完整表格中6个点的图与数据）
【评析】让学生从2个点开始连线，逐步经历连线过程，随着点数的增多，得出每次增加的线段数和总线段数，初步感知点数、增加的线段数和总线段数之间的联系。
2. 观察对比，发现增加线段与点数的关系。
师：仔细观察这张表格，在这张表格里有哪些信息呢？
（引导学生明确：2个点时总条数是1，3个点时就增加2条线段，总条数是3；4个点时增加了3条线段，总条数是6；5个点时增加了4条线段，总条数是10；到6个点时增加了5条线段，总条数是15。）
师：那么，看着这些信息你有什么发现吗？
（学生尝试回答出：2个点时连1条线段，增加到3个点时就增加了2条线段，到4个点时就会再增加3条线段，5个点就增加4条线段，6个点就增加5条线段。每次增加的线段数和点数相差1。）
师也可以提问引导：当3个点时，增加条数是几？（生：2条）那点数是4时，增加条数是多少？（生：3条）点数是5时呢？（4条）6时呢？（5条）那么，你们有什么新发现？
师小结：我们可以发现，每次增加的线段数就是（点数－1）。
【评析】在经历了丰富的连线过程之后，整体观察和对比表格中的数据，从而进一步发现每次增加条数就是点数－1，为后面推导总线段数的算法做好铺垫）
3．进一步探究，推导总线段数的算法。
（1）分步指导，逐个列出求总线段数的算式。
师：同学们，我们知道了6个点可以连15条线段，现在你们有什么办法知道8个点可以连多少条线段吗？
（尝试让学生回答，学生可能会从7个点连线的情况去推理8个点的连线情况。）
师追问：如果当点数再大一些时，我们这样去计算是不是很麻烦呢？
师：我们先来看看，3个点时，可以连多少条线段？你是怎么知道的？
生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线
（贴示黑板条：W020101008674704235156.jpg
师：接着想想4个点共连了6条线段，这又可以怎么计算呢？（贴示：W020101008674704239273.jpg）
师：计算3个点连出的线段数时，我们用了1＋2，再增加1个点，就在增加了3条线段，我们就再加3，所以列式为1＋2＋3＝6（条），那么按着这个方法，你能列出5个点共连线段的算式吗？（根据学生回答，贴示：W020101008674704398114.jpg）
（2）观察算式，探究算理。
师：下面，同学们仔细观察看看这些算式，有什么发现吗？
生1：计算3个点的总线段数是1＋2，计算4个人的总线段数是1＋2＋3，计算5个点的总线段数是1＋2＋3＋4，它们都是从1开始依次加的。
生2：我觉得计算总线段数其实就是从1开始加2，加3，加4，一直加到比点数少1的数。
生3 ：可以，比如3个点的总线段数，就是从1加到2；4个点的总线段数，就是从1开始依次加到3，5个点时，就是1一直加到4，这样推理下去，就是从1开始一直加到点数数减1的那个数。
师：那么你说的点数减1的那个数其实是什么数？（生：就是每次增加一个点时，增加的线段数。）
（3）归纳小结，应用规律。
师：现在我们知道了总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。同学们，你们明白了吗？
师：下面我们运用这条规律去计算一下6个点和8个点时共连的线段数，就请同学们打开数学书91页，把算式写在书上相应的横线上！
（学生独立完成，教师巡视，之后学生板演算式集体评议）
4．回应课前游戏的设疑，进一步提升。
（1）师：现在我们就知道了课前游戏的答案，在纸上任意点上8个点，每两点连成一条线，可以连成28条线段。有这么多条，难怪同学们数时会比较麻烦呢！看来利用这个规律可以非常方便的帮助我们计算点数较多时的总线段数。下面你们能根据这个规律，计算出12个点、20个点能连多少条线段？（学生独立完成）
（2）反馈
师：我们来看看答案吧！（课件示：12个点共连了1+2+3+4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝45（条），
师：20个点共连的线段数为：1＋2＋3＋4＋5一直加到19,为了书写方便，这些列式还可以省略不写中间的一些加数，列式可以写为：1＋2＋3……＋9＋10＋11＝45（条）（课件示）
5．还原生活，解决问题。
师：下面，我们一起来看看小精灵聪聪给我们带来了什么题目！(课件示情景问题：10个好朋友，每2位好朋友握手1次，大家一共要握多少次手？)
师：你们能帮他解决这个问题吗？小组同学互相说说！（小组合作交流，之后学生回答：这道题其实就可以把它转化为我们刚才解决的连线问题。那么答案就是1＋2＋3+…+9＝45）
【评析】在探讨总线段数的算法时，同样延用从简到繁的思考方法，先探究3个点时总线段数怎么计算，之后列出4个点和5个点时总线段数的算式，让学生观察发现这些算式的共有特征：都是从1依次加到点数减1的那个数，从而让学生明白总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。接着让学生用已建立的数学模型去推算6个点，8个点时一共可以连成多少条线段。这样既巩固算法，同时还回应了课前游戏的设疑。最后拓展提升，还原生活，去解决生活中的实际问题。整个过程都在逐步地让学生去体会化难为易的数学思想，懂得运用一定的规律去解决较复杂的数学问题。
三、巩固练习
师：同学们，在我们生活中有许多看似复杂的问题，我们都可以尝试从简单问题去思考，逐步找到其中的规律，从而来解决复杂的问题。下面我们就来看看书上的几道练习题，看看能不能运用这样的思考方法去解决它们。
1．练习十八第2题。
师：同学们，你们可以先用小棒摆一摆，找找其中的规律。
（学生独立完成，鼓励学生多角度思考问题，多样化解决方法）
2．练习十八第3题。
师：仔细观察表格，你能找出规律吗？请同学们想想多边形的内角和与它的边数有什么关系呢？
（1）小组交流
（2）反馈
注意引导学生发现：多边形里分成的三角形个数正好是这个多边形的边数－2！所以，多边形内角和就等于边数减2的差去乘180?
3．练习十八第1题。
师：同学们,前面几道题我们通过看图列表，或是动手摆小棒等活动，找到一定的规律来解决问题，下面我们来做一道找规律填数的题目。请翻开书94页,看到第1题,同学们自己在书上填写答案.
（1）学生独立完成
（2）反馈（根据学生回答课件动态演示）
四、全课总结
师：今天同学们都表现得非常棒，我们运用了化难为易的数学思考方法，解决了一些问题。希望同学们在以后的学习中经常运用数学思考方法去解决生活中的问题。
喜欢
0
赠金笔