先生退休后，被一个大学返聘，要求先生给学生开一门《现代控制理论》课。

就第一节课怎么讲，讲些什么，先生就犯难了。

先生退休前就给学生讲授过《现代控制理论》，课程内容，几章几节，分析综合，难点重点，数学推导，物理概念，驾轻就熟，当时还很受学生欢迎。现在捡起来，不难。但是，好几年没有讲课了，更没有讲授《现代控制理论》了，新形势下，学生对老师的讲课要求也越来越高，学生不仅要求传授有关专业知识，更要求老师讲授的内容对学生一生的学习方法和学习习惯，能有所启发。

这种形势下，考虑到《现代控制理论》实际上是控制系统分析与综合的数学方法论。先生决定环绕《现代控制理论》的这个课程特点，限于线性连续控制系统，把遍布控制理论的“控制数学”作为讲授《现代控制理论》的第一节课。希望能简单地讲清楚控制理论各部分所采用的“控制数学”的来龙去脉。

老先生认为，控制理论是控制系统的数学分析与综合论。《现代控制理论》是自动化专业学生学的另外一门专业基础理论课程《自动控制原理》的继续与延伸，都属于控制理论范畴。《自动控制原理》讲的是控制系统分析与综合的古典控制理论。而《现代控制理论》讲的是控制系统分析与综合的现代控制理论。

老先生认为，任何系统的分析与综合，都离不开数学。不仅理工学科，例如物理系统、机械系统、电力电子系统（那时候，还没有计算机网络系统）的分析与综合，离不开数学。就是文史社会学科各系统，尤其是经济系统、管理系统的分析与综合，也离不开数学。实际上，经济系统、管理系统的分析与综合也尽是深奥的数学。君不见，每年获诺贝尔经济学奖的经济学理论哪一个不是由深奥的数学推导出来的？而《现代控制理论》更离不开数学。《现代控制理论》完全是控制系统分析与综合的数学方法论。

老先生认为，数学真是描述任何一门学科普遍规律的学问。难怪数学被称是科学的皇冠。

很可笑，一位教授，竟然把《现代控制理论》讲成了照本宣科枯燥无味、在黑板上只抄满数学式子的数学课。《现代控制理论》本来是一门规规矩矩的控制理论课，怎么能够讲成一门纯数学课呢？不过，数学又是分析和综合控制系统的工具，先生不希望把《现代控制理论》讲成一门数学课，希望讲的还是控制，但是，要把数学知识融会贯通到控制理论中去。

怎样把数学知识融会贯通到控制理论中去呢？

这要知道点数学的全貌，有的放矢地把数学知识用到控制理论中去。

根据数学研究的数量对象不同，数学有很多分枝。

按数学所描述的数量的形态特征，数学分为解析数学和形体数学两大分支。四则运算、微积分和概率论就属于解析数学，平面几何、立体几何、投影几何，就属于形体数学。

根据数学研究的历史进程，数学基本上又可分为初等数学和高等数学两大分支。如实数的四则运算、代数方程、平面几何、立体几何，就属于初等数学。而研究动态数量之间微积分关系的数学和研究各种非实数数量间关系的数学，例如微积分、概率论、微分几何、积分变换，基本上就属于高等数学。实际上，初等数学和高等数学的分野，并不好严格划分。例如，实数理论研究就十分深奥，不能说实数理论就是初等数学。同样，复数的四则运算是初等数学，可是，复变函数理论就绝对不能说是初等数学了。

每个控制系统，都有自己的结构和参数，控制系统总的结构是闭环结构。开环结构的控制系统的控制性能一般没有闭环结构的控制系统的控制性能好。一般，要控制，就要有反馈，有反馈，就闭环。所以，控制系统，一般都是闭环控制系统。

工程上对控制系统是有各种不同要求的，最基本最重要的要求是在内外干扰过后，控制系统是稳定的，在系统稳定的前提下，再要求控制系统静态下是准确的，动态过程是快速的，即对控制系统有稳、准、快的基本要求。控制系统稳、准、快后，更高级的还有各种“优化”的控制系统的控制性能要求，如要求控制过程时间最短、燃料最省、能量最省的控制要求。总起来说，对于不同的实用控制过程，对控制系统有干扰稳定、静态无差、动态快速、过程优化的不同要求，即有稳、准、快、优的不同层次不同期望的要求。

控制理论包括控制系统的分析理论和控制系统的综合理论。给定结构与参数的控制系统，分析其稳、准、快、优的性能，这就是分析控制系统的理论。反过来，给定控制系统的性能要求，如果控制系统分析后不能满足给定的稳、准、快、优的性能要求，就要去改变控制系统的结构与参数，使控制系统最后达到给定的控制系统性能要求，这就是控制系统的综合理论。简单说，控制理论，就是分析与综合控制系统的数学方法论，而控制系统的数学分析理论又是控制系统数学综合理论的基础。

这里插一句，有的人把控制系统的设计与控制系统的综合混为一谈。实际上，控制系统的综合就是指给定性能指标，确定控制系统理论上的物理结构和物理参数，而控制系统的设计，除确定系统数学理论上的物理结构和物理参数的设计外，还包括确定系统的实用工程设计。

这样，为避免造成概念上的混淆，本文所用的控制系统设计和控制系统综合的理论，都只用来解决控制系统的综合问题。所以，本文下面所提控制系统的数学理论都只提控制系统的分析与综合，而不提控制系统的设计。

分析与综合控制系统的数学方法论，当然有一个发展进化过程。

最初的原始控制理论，也谈不上有什么控制理论。最初，工程上用的只是开关控制系统（或叫继电控制系统），搞控制的人也不用什么数学方法分析和综合开关控制系统。当时，只是从物理运动过程的角度对开关控制系统的开关状态进行了物理上的分析与综合，并没有用什么系统的数学方法对开关控制系统进行理论上的分析与综合。最初，控制领域也谈不上有什么控制理论。连最原始的控制理论可能都谈不上。

后来，工程上，控制系统由开关控制系统发展到了PID控制系统（即比例积分微分控制系统），才把控制系统的分析与综合问题真正提高到数学理论高度的议事日程上来。这时候，没有数学理论的分析与综合，没有系统的数学方法，几乎解决不了比例积分微分控制系统的分析与综合问题。

怎么样用数学方法解决控制系统的分析和综合问题呢？

这就要用到控制系统的信号响应法和控制系统的结构参数法。

所谓信号响应法，就是在控制系统的某个输入端加上某个输入信号，如给定一个时间域阶跃信号或频率域频率信号，从控制系统系统响应（输出变量响应或状态变量响应）特征来判断控制系统性能的好坏。分析和综合控制系统最常用的信号响应法是古典控制理论中的阶跃响应法和频率响应法。现代控制理论中的状态响应法，也是控制系统的信号响应法。

所谓结构参数法，就是不输入外部输入信号，从系统的结构参数来判断控制系统性能的好坏。分析和综合控制系统最常用的结构参数法有劳斯判据法和根轨迹法。劳斯判据法所用的控制系统结构参数是制系统微分方程数学模型的阶次n和各阶次的系数，而根轨迹法所用的控制系统结构参数是控制系统特征方程的特征根。

频率法和搞根轨迹是古典控制理论的一对双胞胎。频率法是根据控制系统输出信号的频率响应进行控制系统分析与综合的方法，而根轨迹法是根据控制系统特征根进行控制系统分析与综合的方法。

频率法和根轨迹法，谁优谁劣，方法的取舍，需要因问题因人而定。不过，频率法用的较多。

控制系统的分析和综合方法，历来就有信号响应法和结构参数法两种。用控制系统输出变量或状态变量的时域响应或频域响应，分析和综合控制系统，就是信号响应法。例如，通过求取控制系统高阶微分方程的时域解、用频率响应，分析和综合控制系统，就是信号响应法。用控制系统的结构参数，分析和综合控制系统，就是结构参数法。例如，用高阶微分方程各项的系数矩阵构成的劳斯—赫尔维姿稳定性判据，就是结构参数法。

因此，这里，重点研究一下信号响应法。

从追求控制系统的稳定性、准确性、快速性和优化的角度考虑，控制系统的分析与综合问题，是个动态问题。因此，要从系统运动的角度解决控制系统的分析与综合的问题。

因为要从控制系统运动的角度分析和综合控制系统，所以要用数学上的微积分解决控制系统的分析与综合问题。这就要建立控制系统的微分方程模型，然后通过求解控制系统的微分方程，即通过求解控制系统齐次和非齐次微分方程的通解、特解和全解来分析与综合控制系统。

因为控制系统内部可能有n个物理储能环节（惯性环节、积分环节或振荡环节），每个储能环节都有一个一阶微分方程或二阶微分方程，这样，整个控制系统的微分方程，就是一个系统输出变量的高阶（n阶）微分方程。

用信号响应法对控制系统进行分析综合时，微分方程的求解都是求的微分方程的时域解，即把时域函数信号加到控制系统输入端，求取控制系统输出端的输出时域响应。

又因为控制是通过信息反馈实现的，控制系统就是闭环的了。因此，控制理论上所说的控制系统，都是闭环系统。用微积分理论解决控制系统的分析与综合就是要求解闭环控制系统输出变量的高阶（n阶）微分方程。

这样，用信号响应法中的时域响应求解微分方程的方法来分析与综合控制系统时，因为要求解的是闭环系统高阶（n阶）输出响应的时域解。因此，总的说，控制系统的分析要求解的是，高阶（n阶）闭环系统输出响应的时域解。

这样，因为要求取高阶（n阶）闭环系统输出响应的时域解，这样，在用求解高阶微分方程的方法分析与综合控制系统时，数学上就遇到了3个难题：高阶，时域，闭环。

闭环了，微分方程就复杂了。

时域解，不好求。

越高阶，越不好求解。

反正，闭环的高阶微分方程的时域解，不好求。

这三个难题，都不便于求解微分方程。

怎么样困难，不难解答，只是因为是纯数学问题，这里就不说了。

因为有着这3个难题，就把直接用求解高阶（n阶）微分方程输出响应时域解的方法来分析和综合控制系统的路子，基本上，给堵死了。

这样，如何继续用数学方法解决控制系统的分析和综合问题呢？

真个，天无绝人之路。数学更无绝人之路。

懂得数学的控制学家后来形成了频率法、根轨迹法和状态空间法等3个分析综合控制系统的数学方法。

频率法：利用傅里叶变换，把求高阶微分方程时域函数的求解问题变成了代数方程频率函数的求解问题。代数方程问题，不是比微分方程问题好求解多了吗？频率法又是一种图解法，微分方程的解析求解问题，变成了频率特性图的图解问题，数字图解问题不是比数学解析问题更更形象更直观吗？而且，通过画频率响应图，又继续把闭环频率特性的求解问题变成了开环频率特性的求解问题。解决开环问题不是比解决闭环问题更简单吗？最后，还经过对数变换又把曲线的频率特性变成了伯德图的直线频率特性，直线频率特性图不是比曲线频率特性图更容易求解吗？因此，频率法在当时数学研究条件下，经过这几次变换，分析和综合控制系统的求解高阶闭环系统的时域解的解析问题，变成了求解高阶开环系统的频域解的直线图解问题。因此，频率法是分析综合高阶闭环系统的一种比较简单有效的图解数学方法。

总之，有了频率特性的伯德图，数学上的时域问题变成了数学上的频域问题，物理上的闭环结构问题简化成了物理上的开环结构问题，数学上的解析数学问题简化成了数学上的图解数学问题，图形上的曲线图解问题简化成了曲线图解问题。这样，高阶闭环控制系统的分析和综合问题就比较好求解了。控制系统人员，就不需用高深难懂的解析数学，只要用伯德频率折线图形，根据各频率段直线的宽度和斜率就可以在平面图纸上进行控制系统的分析和综合了。

显然，频率法，特别是对数频率法，是控制系统分析与综合是一个比较简单的有效方法。是一个很有内涵很有创见的一种控制理论。

根轨迹法：利用拉普拉斯变换及其反变换，把求时域微积分方程的时域解问题变成复数域（S域）传递函数的代数方程问题，也可以利用S=jω变换及反变换，在频率特性和传递函数之间互换。根据开环系统的特征根的分布，用直尺和量角器把闭环系统的特征根求出来，最后根据闭环系统的特征根分布来分析和综合所给定或所要求的的控制系统。

根轨迹法把微分方程问题变成了代数问题、把时间域（t域）问题变成了空间域（S域）问题、把闭环极点问题变成了开环零极点问题。由于代数问题、空间域（S域）问题和开环问题，在数学上比较容易求解，因此根轨迹法在当时科学技术的条件下，也是分析和综合控制系统的一种比较简单有效的数学方法。

根轨迹法也是把解析数学问题变成了图解数学问题，根轨迹图很形象直观地给出了高阶闭环控制系统分析和综合的结果。例如，如果闭环控制系统的所有特征根，都位于左半S平面，则闭环系统是稳定的，又如，闭环系统有特征根位于左半S平面的虚轴附近，则闭环系统就容易振荡。

根轨迹法不是信号响应法，而是结构参数法，是通过开环系统的零极点用图形方法确定闭环控制系统的极点。然后再由闭环极点分析综合控制系统。开环系统的零极点和闭环极点就是控制系统的结构和参数。而频率法，既是信号响应法（频率型号的响应），又是结构参数法。对数频率曲线或折线表示了不同频率信号下的频率响应，而对数频率特性折线的转折点就是系统的结构参数。

频率法和根轨迹法是古典控制理论中控制系统两个比较有效的数学分析综合方法，是两个比较重要的控制理论。在当时控制系统比较简单、控制要求只是要求输出变量稳准快、数学运算工具也比较简单（只有直尺和量角器）的情况下，频率法和根轨迹法都不失为控制系统分析和综合理论的两个简单而有效的数学方法。

随着控制系统越来越复杂，例如控制人员不仅要面对单变量（单输入单输出）线性常系数定常系统，还要面对一些单变量（多输入多输出）非线性变系数时变系统，控制要求也越来越高，如不仅要求控制系统响应稳、准、快，还要求控制系统具备某些优化性能指标。与此同时，数学处理的手段有了数字计算机，数学运算没有障碍了。这样，古典控制理论中的频率法和根轨迹法就不是那么了不起了，人们就要寻求新的控制理论了，就要寻找控制系统新的分析和综合方法了。

  这种情况下，一种新的控制系统分析和综合的方法，就应运而生了。这种控制系统新的分析和综合的方法叫状态空间法。人们就把状态空间法叫做现代控制理论。

状态空间法是在控制系统中引入一组新的系统变量，这组新的变量也是时间函数，因此。状态空间法法也是一种时域法。由于引入了状态变量，状态空间法至少有两个特点

一个，是把控制系统的数学模型由一个输出变量的n阶（实际是任意阶）的高阶微分方程模型，变成了一个由n个一阶微分方程联合组成的一阶微分方程组。这样，控制系统的分析综合问题就变成了一个一阶微分方程组的求解问题。而求一阶微分方程组的时域解在数学上是比较简单的。这样，控制系统物理本身本质上是时域的，而控制系统的分析综合的数学方法也是时域的。这样，数学方法与物理所求就一致了。

二个，虽然高阶微分方程和一阶微分方程住的解，都是时域的。但是这两种时域解又有两个不同。一个，高阶微分方程给出的时域解只是控制系统输出变量的时域解，而求状态方程给出的时域解，除了可以给出输出变量的时域解以外，还给出了全部状态变量的时域解。二个，高阶微分方程的求解非常困难，而且，输出变量的求解难度，随着系统阶次的增加，高阶微分方程输出变量的求解难度更急剧增加。而状态方程组是一个一阶微分方程组，一阶微分方程组现在已经有了很精确很快速的计算机求解方法（各阶龙格库塔法），而且随着控制系统状态变量的增加，不影响状态变量的难度。因此，状态空间法是一种数学上特别容易计算的时域法。

状态空间法还有一个非常重要的优点。控制系统的输出变量只是控制系统的外部变量，而状态变量是控制系统的内部变量。就是说，用高阶微分方程求得的控制系统分析和综合结果，只是控制系统的外部特性，而用状态方程数学模型求得的控制系统分析和综合结果，则包括了控制系统的内部特性。如同中医只能从体外的体温和脉搏了解病情，而西医还可以知道体内器官的病情。显而易见，状态空间时域法，远远优于高阶微分方程的时域法。

控制理论发展到状态空间法的好处，还有很多，例如，有利于解决寻优问题，有利于计算机求解，这是任何古典控制理论永远做不到的。

现代控制理论，除了状态空间法外，还应该包括英国罗森布鲁克的“现代频率法”。因为罗森布鲁克的“现代频率法”不是大学本科生所要求学习的内容，此文就不介绍罗森布鲁克的“现代频率法”的控制数学特征及其来龙去脉了。此文不说了，课堂上也不讲了。