新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市质检卷中也出现大量的题目可以用拉格朗日中值定理解答.

拉格朗日中值定理：若函数 满足如下条件：

（i） 在闭区间 上连续；

（ii） 在开区间 内可导；

则在 内至少存在一点 ，使得 .

本文先面对多数学生介绍中值定理在两种题型上的应用。

一、         证明与 或

（其中 ）有关的问题。

例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数

（Ⅰ）求 的单调递增区间；

（Ⅱ）设 问是否存在实数 ，使得函数 上任意不同两点连线的斜率都不小于 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。

解（Ⅰ）略

（Ⅱ）该题提供的参考答案是：当 时，　 。假设存在实数 ，使得 的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于 ，即对于任意 ，都有 亦即 考查函数 ，故问题等价于 在 上恒成立。即 对 恒成立。（以下同省质检参考答案）

这种解法对于多数学生仍感到入口难，而应用中值定理多数学生就会感到入口容易得多，解法如下：当 时， ，假设存在实数 ，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于 ，即对任意 ，都有 由中值定理知存在 ，有 即 在 上恒成立。（以下同省质检参考答案）

例2：（2009年辽宁卷理21题）

已知函数

（Ⅰ）讨论函数 的单调性；

（Ⅱ）证明：若 ，则对任意 ， ，有 .

解：（Ⅰ）略；

证明：（Ⅱ）由中值定理知 （ ）.由（Ⅰ）得， .所以要证 成立，即证 .下面即证之. 等价证明 在 上恒成立，令 ，则 .由于 ，所以 .从而 在 恒成立.也即 .又 ， ，故 .则 ，即 ，也即 .

    评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量 ；其次 的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数 .为什么考虑函数 ？很多考生一下子不易想到.而且 的放缩也不易想到.

二、证明与 有关的问题

例3：（2010辽宁卷理21）已知函数

（I）讨论函数 的单调性；

（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由中值定理则当 时， 恒成立可转化为 恒成立，即 在 上恒成立，由

得 当 时恒成立，解得 ，故a的取值范围为（-∞，-2].

例4：(2OO6年四川卷理第22题)

已知函数 的导函数是 ，对任意两个不相等的正数 ，证明：

（Ⅰ）当 时，

（Ⅱ）当 时， .

证明：

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由 得， ，令 则由拉格朗日中值定理得：

下面只要证明：当 时，任意 ,都有 ，则有 ，即证 时， 恒成立.这等价于证明 的最小值大于 .

由于 ，当且仅当 时取到最小值，又 ，故 时， 恒成立.

所以由拉格朗日定理得： .

评注：这道题用原参考答案的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.

对于尖子生，还可介绍两类用中值定理求解的题型。

三、证明与 或 （其中 ）有关的问题

例5：（2007年高考全国卷I第20题）

设函数 .

（Ⅰ）证明： 的导数 ；

（Ⅱ）证明：若对所有 ，都有  ，则 的取值范围是 .

证明：

（Ⅰ）略.

（Ⅱ）（i）当 时，对任意的 ，都有

(ii)当 时，问题即转化为 对所有 恒成立.

令 ，由拉格朗日中值定理知 内至少存在一点 （从而 ），使得 ，即 ，由于 ，故 在 上是增函数，让  得 ，所以 的取值范围是 .

例6：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数 .

（Ⅰ）求 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围.

（Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：当 时，显然对任何 ，都有 ；当 时，

由拉格朗日中值定理，知存在 ，使得 .由（Ⅰ）知 ，从而 .令 得， ；令 得， .所以在 上， 的最大值 在  上， 的最大值 .从而函数 在 上的最大值是 .由 知，当 时， 的最大值为 .所以， 的最大值 .为了使 恒成立，应有 .所以 的取值范围是 .

评注：这道题的参考答案的解法是令 ,再去证明函数 的最小值 .这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数 ,要对参数 进行分类讨论;其次为了判断 的单调性,还要求 和 的解,这个求解涉及到反余弦 ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了用中值定理解决这类题的优越性.

四、证明与 有关的问题

例7：（2004年四川卷第22题）

已知函数 .

（Ⅰ）求函数 的最大值；（Ⅱ）设 ，证明： .

（Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：依题意，有

由拉格朗日中值定理得，存在 ，使得                                                                          

评注：对于不等式中含有 的形式，我们往往可以把 和 ，分别对 和 两次运用拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要工具. 把这个定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质，从而可以居高临下的处理教材，为学生学好数学打下良好的基础。