建立等量关系的策略

-----------选自《数学小学教学设计》

策略一、抓关键词建立等量关系

在学习列方程解应用题前学生已经积累了一些基本的数量关系，如“总数—用去=剩下、单价×数量=总价、速度和×相遇时间=路程和”等。这些数量关系中的数量就成了一到应用题的关键词。因此，引导学生抓关键词，并联想相应的数量关系，可顺利地建立等量关系。

 例1：两地间的公路长480千米，A、B两车同时从两地相对开出，A车的速度是B车的2倍，经过4小时两车相遇。问B车每小时行驶多少千米？

分析：这是一道相遇问题，抓住关键词“相遇”联想数量关系，速度和×相遇时间=路程和。因此，根据“速度和×相遇时间=路程和”列等量关系。

解：设B车每小时行驶x千米，则A车每小时行驶2x千米。列方程得（x+2x）×4＝480，解得B车每小时行驶40千米，A车每小时行驶80千米。

策略二、抓比字句建立等量关系

有的应用题中含有“甲比乙多几（少几）”或“甲比乙的几倍多几（少几）”这样的句式，它是一种比字句式。比字句式本身就隐含着等量关系，它以句式中的“比”字为分界，可以把它看成等号，如，甲数比乙数的1.5倍少3，写成等量关系便是甲数=乙数×1.5－3。为了迎合人们的书写习惯，通常写成乙数×1.5－3=甲数。

例2. 少年宫合唱队有84人，比舞蹈队人数的3倍多15人。舞蹈队有多少人？

分析：抓比字句“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”建立等量关系：合唱队的人数=舞蹈队人数×3+15.

解：设舞蹈队有x人，列方程得3 x+15=84，解得舞蹈队有23人。

例3. 盖教学楼，实际投资了360万元，比计划节约10%，计划投资多少万元？

分析：抓住“ 实际投资比计划节约10%”这个条件分析，以计划投资为单位“1”，列出等量关系：计划投资－计划投资×10%=实际投资。

解：设计划投资x万元，列方程得：x－10%x=360，解得x=400.

例4. 果园里，桃树棵树比梨树多20棵，桃树棵树是梨树的 倍，梨树有多少棵？

分析：抓住“桃树棵树比梨树多20棵”这个条件分析，列出等量关系，桃树棵树－梨树棵树=20棵。

解：设梨树有x棵，列方程得： x－x=20，解得x=80.

策略三、抓不变量建立等量关系

有的应用题尽管其他情节发生了变化，但叙述前后都指向的某一“同一量”始终没有变化，这个“同一量”就称不变量。这类题可根据“同一量”前后都没有变化建立等量关系。常见的不变量有总量总量不变量，部分量不变量，差量不变量。

例5. 一个服装厂原来做一套制服用3.8米布，改变裁剪方法后，每套节省布0.2米。原来做1800套制服的布，现在可以做多少套？

分析：本题有三个量即套数、每套米数、总米数。对比原来与改变裁剪方法后的两种制服方法，只有总米数前后是不变的，抓住总米数这个不变量建立等量关系，原来的套数×原来每套的米数=现在的套数×现在每套的米数。

解：设现在可以做x套，列方程得（3.8－0.2）x=1800×3.8，解得现在可以做1900套。

例6. 袋里有若干个红、黄球，其中红球占 ，后来又往袋里放了6个红球，这时红球占袋里现有总球数的 ，黄球有多少个？

分析：此题的红球、黄球两球的总数三个量中，只有黄球的个数前后不变，是这道题的不变量。因此，可以根据黄球个数前后不变建立等量关系。

解：设原来两球的总数为x个，则现在两球的总数为（x+6）个。依据题意列方程得，x－ x = （x+6），解得x = 36，即黄球有

36×  = 21（个）。

策略四、利用特征建立等量关系

有的集合应用题，就利用集合体本身的特征建立等量关系。

例7. 一个等腰三角形，顶角70度，每个底角多少度？

分析：根据“三角形内角和等于180度，等腰三角形两个底角相等”这些特征，建立等量关系：顶角+底角+底角=180度。

解：设底角为x度，列方程得70+x+x=180度，解得每个底角是55度。

策略五、依据公式建立等量关系

依据几何体中的周长、面积、体积公式建立等量关系。

例8. 一个梯形面积是36平方米，上底5米，高4米。下底多少米？

分析：直接利用梯形面积公式（上底+下底）×高÷2=面积建立等量关系。

解：设下底是x米，列方程得（5+ x）×4÷2＝36，求得下底是13米。

例9. 一段圆柱体钢材体积是62.8立方米，底面半径是2米。求这段钢材的高是多少米？

分析：直接依据“底面积×高=圆柱的体积”这个计算公式建立等量关系。

解：设这段钢材的高是x米，列方程得：3.14×2²×x=62.8，解得x=5，即这段钢材的高是5米。

策略六、借助示意图建立等量关系

俗话说：一图顶千言。示意图是学习数学时用来将抽象的数量关系进行直观形象地表现出来的一种行之有效的手段，用示意图表示题中的已知量和未知量，可以明显地看出数量之间存在的等量关系。因此要引导学生学会把抽象的数量关系转化为直观的示意图，借助示意图来建立等量关系，有效地实现数形结合，发挥形象思维和抽象思维的协同作用，从而获得问题的解决。

例10. 果园里有桃树和杏树共180棵，杏树的棵树是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？

分析：这是一道和倍问题，抓住“杏树的棵树是桃树的3倍”这个条件分析知道，桃树的棵树是1倍数，杏树的棵树是3倍数。它们的关系可以用线段图表示，为了不使问题复杂化，画线段图时一般先画1倍数，再画几倍数。因此，依据题意画线段图如下：（x先不标上）

桃树：

杏树：

  从图上非常直观地看出等量关系：桃树的棵树+杏树的棵树=180棵。

解：设桃树有x棵，并在线段图上标上x，列方程得x+3x=180，解得桃树有45棵，杏树有135棵。

以上列举建立等量关系的6种策略，它们并不是彼此孤立的，而是相互联系的。如抓关键句、抓不变量、抓比字句这些策略有时需要借助图解策略才能更好地揭示条件中蕴含的等量关系。因此，在策略的使用上，应注意彼此兼顾，灵活运用。