排列组合应用题的类型及解题策略

一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）  ②有序还是无序   ③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律

（1）            两种思路：直接法，间接法。

（2）            两种途径：元素分析法，位置分析法。

解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。

特殊优先法: 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有          种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A₂²种；中间4个为不同的商业广告有A₄⁴种，从而应当填 A₂²·A₄⁴＝48. 从而应填48．

  （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。

 三．基本题型及方法：

1．相邻问题

（1）、全相邻问题，捆邦法

例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。A22A55

A）720   B）360  C）240  D）120

说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

（2）、全不相邻问题，插空法

例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，

解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 种

例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

（A）1800        （B）3600            （C）4320            （D）5040

解：不同排法的种数为 ＝3600，故选B

说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。

（3）．不全相邻排除法，排除处理

例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：

例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

2、顺序一定，除法处理或分类法。

例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（  ）（用数字作答）。

解：5面旗全排列有 种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有

例8．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是     。（用数字作答）

解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有 ＝30种不同排法。解二： =30

例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（  ）

A）210个         B）300个            C）464个              D）600个解：         故选（B）

4、多元问题，分类法

例10．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有      种

共有600种不同的选派方案．

例11：设集合 。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

A．    B．     C．       D．

总计有 ，选B.

例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有A

A．10种　B．20种   C．36种 　D．52种

说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。

5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。

例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？252

例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。

（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？

（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？

例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ B   ）

A）6种  B）9种  C）11种   D）23种

说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。

例16、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是              .(用数字作答) 。（答：78种）

说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。

6、多排问题，单排法

例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为

A）       B）    C）        D）

解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 种座法。∴选（D） 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）

例18．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有

（A）108种　　　 （B）186种　　　  　（C）216种　　　　  （D）270种

解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有 =186种，选B.

例19． 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)

【解析】两老一新时, 有 种排法；两新一老时, 有 种排法,即共有48种排法.

【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.

例20．将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有  B

（A）３０种　（B）９０种   （C）１８０种　　（D）２７０种

说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。

8、部分符合条件淘汰法

例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有                    （  D  ）

A）150种   B）147种  C）144种     D）141种

解：10个点取4个点共有      种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有                              选D

说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。

9．分组问题与分配问题

①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理

例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？

分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有  种分法，再取3个不第二组，有 种分法，剩下3个为第三组，有  种分法，由于三组之间没有顺序，故有 种分法。（2）同（1），共有 种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以 。

练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？

②分配问题：      定额分配，组合处理；           随机分配，先组后排。

例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有 种；再让乙选，有 种；剩下的给丙，有 种，共有 种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有 种不同的分法。

例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有 种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有 种，前4次测试中的顺序有 种，由分步计数原理即得： （ ） ＝576。

【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列

练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？

     2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？

例25 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有  (     ) A.16种            B.36种             C.42种             D.60种

解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有 ，二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有 ，    共有 =60，      故选   （D）

10．隔板法：隔板法及其应用技巧  

 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：

例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)

   分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图）

               ○○○    ○○○    ○○○○               

则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为  个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：

技巧一：添加球数用隔板法。

    例27．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。

分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z  各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为 =66个。

    【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。

  技巧二：减少球数用隔板法。

   例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

   分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有     =286 种方法。

     分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有   =286  种方法。

  【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。

  技巧三：先后插入用隔板法。

例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？

  分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有  种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有  种方法。故由乘法原理知，共有  种方法。

   11．数字问题（组成无重复数字的整数）

   ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。

②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。

③   能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。④   能被5整除的数的特征：末位数是0或5。

⑤     能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。    能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

例30在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有

（A）36个        （B）24个           （C）18个            （D）6个

解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有 ，故共有 ＋ ＝24种方法，故选B

例31。用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　24　个（用数字作答）．

12．分球入盒问题

例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？

①  小球不同，盒子不同，盒子不空

解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有

②小球不同，盒子不同，盒子可空    解： 种

③小球不同，盒子相同，盒子不空  解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有 =25种

④小球不同，盒子相同，盒子可空

本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有 种

⑤小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 \ 00 \ 00      ，有 种方法

⑥小球相同，盒子不同，盒子可空

解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有 =21解：分步插板法。

⑦小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。  共 2种

⑧小球相同，盒子相同，盒子可空

解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0；  4，1，0；3，2，0；  3，1，1；  2，2，1。

例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内

（1）共有几种放法？（答： ）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答： ）

（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答： ）（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（答： ）

13、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？

              （2）以涂色先后分步，以色的种类分类。

例34、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有  120        种？

6

5

4

3

2

1

例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色种数为  420     

 

 

 

 

 

 

 

巧解排列组合的21种模型

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数有

A、60种      B、48种      C、36种     D、24种

解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于4人的全排列， 种，答案： .

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

A、1440种      B、3600种      C、4820种     D、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为 种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法种数是 种，选 .

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数是

A、24种      B、60种      C、90种     D、120种

解析： 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 种，选 .

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A、6种      B、9种      C、11种     D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选 .

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A、1260种      B、2025种      C、2520种     D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 .

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有

A、 种      B、 种      C、 种     D、 种

答案： .

6.全员分配问题分组法:

例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共有 种方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

A、480种      B、240种      C、120种     D、96种

答案： .

7.名额分配问题隔板法:

例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种.

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有 方法，所以共有 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有 种，共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种.

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

A、210种      B、300种      C、464种     D、600种

解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有 、 、 、

和 个，合并总计300个,选 .

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做 共有86个元素；由此可知，从 中任取2个元素的取法有 ，从 中任取一个，又从 中任取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有 种.

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：将 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集 ；能被4除余1的数集 ，能被4除余2的数集 ，能被4除余3的数集 ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从 中任取两个数符合要；从 中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 种.

10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 .

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

种.

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析：老师在中间三个位置上选一个有 种，4名同学在其余4个位置上有 种方法；所以共有 种.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是

A、36种      B、120种      C、720种     D、1440种

解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共

种，选 .

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 种，其余5个元素任排5个位置上有 种，故共有 种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

A、140种      B、80种      C、70种     D、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选.

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有 台,选 .

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，“再排”在四个盒中每次排3个有 种，故共有 种.

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

解析：先取男女运动员各2名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有 种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有

A、70种      B、64种      C、58种     D、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A、150种      B、147种      C、144种     D、141种

解析：10个点中任取4个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是 种.

16.圆排问题线排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的 元素全排列.

例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式 种不同站法.

说明：从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 种不同排法.

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法.

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 种不同方案.

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：从5个球中取出2个与盒子对号有 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为 种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的最短路径有多少种？

 

A

B

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种.