我在看《激光原理》的时候需要一点傅里叶变换，于是我就重新在一些书籍中查了一下傅里叶变换，发现阐述得不是特别清楚，我在这里详细分析一下，这对很多使用者是有益的。

对于非周期函数f(t),可以将它看成是某个周期函数fт(t)当т→+∞时转化而来的。
即：

                                       f(t)= limfт(t)                                          (1)
                                             т→+∞ 

由傅里叶复指数形式可得：

                           +∞ T/2
            f(t)= lim 1/T *∑[∫fт(u)*exp(-inωu)du]*exp(inωt)                                  (2)
                 T→+∞  n=-∞ -T/2

                
                                                                                                                                                                                                    
                                                        
令ωn=nω(n=0,1,2,…)，则有Δωn=ωn+1-ωn=2∏/T（此n是下角标），显然，当т→+∞时，Δωn→0，故（2）式又可以写成

                        +∞  T/2
         f(t)= 1/2∏*lim ∑[∫   fт(u)*exp(-iωnu)du]*exp(iωnt)*Δωn （n是下角

                Δωn→0 n=-∞ -T/2

标）                                                                                     （3）
记
                    T/2
             Fт(ω)=∫   fт(u)*exp(-iωu)du
                    -T/2

                    +∞
             F(ω)=∫   f(u)*exp(-iωu)du
                    -∞

则
                             +∞                           
             f(t)= 1/2∏*lim ∑[Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn （此n都是下角标）         
                     Δωn→0  n=-∞

显然，当Δωn→0时，Fт(ωn)→F(ωn)

从而（此n都是下角标）
                            +∞                                +∞
            f(t)= 1/2∏*lim ∑Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn= 1/2∏*lim ∑F(ωn)*exp(iωnt )*Δωn      （4）
                    Δωn→0  n=-∞                      Δωn→0 n=-∞

分析一下：

首先看一下复变函数积分的定义，如下：
定义：设C为复平面上以A起点B为终点的光滑（或分段光滑）的有向曲线，函数ω=f(z)在C上连续，如果以分点A=z0,z1,z2,...,zn-1,zn=B将曲线C任意分成n个
                                                              n
小弧段，并在每个弧段zn-1zn(k=1,2,...,n)上任取一点ζk，作和式Sn=∑f(ζk)*Δzk,其中Δzk=zk-zk-1，记弧段

                                                              k=1 

zn-1zn的长度ΔSk，λ=maxlim{ΔSk}，若不
                  1≤k≤n                                                                                                                                                                                                    
论对C如何分法及ζk如何取法，极限

                                n
                            lim∑f(ζk)*Δzk
                           λ→0 k=1
存在，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C从A到B的积分，记为∫f(z)dz,即
                                                      c

                                                                              n
                                                                ∫f(z)dz= lim∑f(ζk)*Δzk
                                                                c        λ→0 k=1
式中，f(z)为被积函数；C为积分曲线。

这样就很明确了，(4)式中取的是弧段的起始点（ωn，F(ωn)*exp(iωnt）），就是弧段的起始点（ωn，F(ωn)*exp(iωnt））作为被乘数，这是符合复变函数积分定义的，定义中指出可以取任何一点，当然可以取弧段的起始点（ωn，F(ωn)*exp(iωnt））做被乘数。

（4）接下来是：
             
               +∞                    +∞    +∞                               
      =1/2∏*∫F(ω)exp(iωt)dω=1/2∏*∫   ｛∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω                       -               -∞                    -∞    -∞

以上是（5）式。
   
            +∞   +∞     
      =1/∏*∫   ∫f(u)cosω(t-u)dudω                                                        (6)
             0   -∞    

                             
解释一下（5）到（6）的过程：
因为exp(iωt)对于u来说是常数可以和前面的函数合并，利用欧拉公式把expiω(t-u)展开，会得到一个带有和i相乘的含有正弦函数乘积的函数在（-∞，+∞）的积分函数项。因为正弦函数的函数值是关于坐标原点对称的，函数值的绝对值是完全相等的，但是符号相反，这样带有和i相乘的含有和正弦函数乘积的函数项在（-∞，+∞）的积分值为零，因为积分区间（-∞，+∞）可以分解成以纵轴对称的（-∞，0]和[0,+∞)。另外，因为对于函数f(u)cosω(t-u)是对正数ω的偶函数，所以把积分区间改写成了（0，+∞）并且把积分的函数乘以了2。于是就得到了（6）式。我不把计算过程写出来了，那样内容会太多的。
把（5）式单拿出来，

                             +∞    +∞                              
                 f(t)=1/2∏*∫   ｛∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω  
                             -∞    -∞                            
称为傅里叶逆变换，若记

                       ⋌      +∞   
                       f(ω)=∫   f(t)*exp(-iωt)dt        这就是f(t)的傅里叶变换
                              -∞                            

                                  +∞  ⋌ 
则                     f(t)=1/2∏*∫   f(ω)*exp(iωt)dω    这就是f(t)的傅里叶逆变换
                                  -∞                                       
至此，对傅里叶变换的来龙去脉已经阐述详细了。
傅里叶变换的应用很广泛，如在：《激光原理》、《电路》，等等学科。

后记：
用博客写专业类博文还是非常消耗时间的，要是能有得心应手的工具就好了。看起来，写关于《激光原理》的博文会消耗很多时间的。