加载中…谈谈新概念几何和传统几何和我教孩子们突破几何难题的策略
(2013-02-10 13:37:11)
很多孩子觉得几何难那是没掌握到窍门和以前一些不良的思维习惯导致。其实初中阶段最容易拉开差距的不是代数而是平面几何。代数很多题型套路性极强只要恒等变形的功夫到位多做点题很容易解决。几何恰恰截然不同，为何呢？
初中数学和竞赛中代数的丝路容易形成，只是解题的熟练程度要加以训练。而几何它的魅力在于所需要的知识不难，但很难想到。特别是传统几何，别看很多题只用了全等来转化角度连圆的知识都没涉及可是题目难度并不低，如果用代数方法处理计算量极大在单位时间内完成几乎是不可能的事情。下面我谈谈我的解决方法。几何中的辅助线相当于连接一条大河两岸的桥梁。孩子觉得几何难的原因就是难以架设这座桥。可是新概念几何的观念就是面积法。很多高中竞赛题可以用面积法解决，并且还不需要辅助线。面积法作答的优点就是目标意识。何谓目标意识呢？我主要就是借助几何训练正向思维和逆向思维的结合，就是把结论当条件用看需要证明什么，因为百分之九十的情况是可以交换条件和结论的。从结论往条件靠拢，从条件往结论靠拢从中寻觅共同点就是思维的形成过程，用数学语言叫做由果索因和由因执果。也就是分析法和综合法结合，最后把分析法的过程倒着写，综合法的过程顺着写就从容完成了证明。下面我主要介绍面积法的极大核心观念。面积法主要是抓面积不变和高不变。对于面积不变主要是两种处理方式。1局部合成整体2反比例第一个方法对于初一的孩子主要可以证明如下几个结论1等边三角形内任意一点到三边距离和不变。等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和不变。还有一些割补法的题都可以采用局部合成整体，甚至勾股定理也可以如此，还包括代数的平方差和完全平方公式都可以应用局部合成整体。反比例应用很广比如等腰三角形两腰上的高相等。因为三角形有三条边就有三条高从不同的角度看面积不变。面积不变是比较好处理的。相对难的是高不变。相信很多人就觉得几何的比例式难其实处理问题很多时候靠一个朴实的方法可以轻松解决就是共边定理。另外还有个常用的几何知识就是平行线间距离处处相等。两个只是一个是同高还有个是等高。在计算的时候都是底边比就是面积比。但是在共边的基础上可以衍生出燕尾定理，平行线分线段成比例定理，还有共角定理。核心观念就是化线段比为面积比以及不同的面积比表示同一个底边比。当然有的题面积比也要化为线段比。在学习比例的时候对于等比定理和换比的知识也要比较熟悉。而共边定理最大的好处在于有了明显的目标，列方程的话就是很好的等量关系。训练队三角形的感觉还包括三线共点就可以吧整个三角形分成3个大局部6个小局部。三大局部合成整体配合等比定理有很精彩的题。对于四边形可以认识四大局部就是以对角线为界分别是两个大局部，合成的面积是整个四边形的2倍。这里就是综合使用了2大观念局部合成整体和共边定理。
在共边定理初步认识有了一定体会后我主要讲述梅涅劳斯和塞瓦定理。以及它们的逆定理顺带平行线分线段成比例定理也有逆定理。那2大定理还是用的是化线段比为面积比，其实可供选择的面积比很多，为了解题方便我们如果不能很好找到合适的面积比就采用枚举法把所有知道的面积比列举出来然后去找可以约分的比，今后学相似比例的转化同样可以这样。对于几个定理的逆定理的证明就可以采用同一法。同一法是把逆向思维做到极致的方法。核心观念是把结论当条件用再证明满足条件的点唯一。往往还要结合巧妙的恒等变形比如通分的通分子。比如三角形的重心性质应用梅涅劳斯和塞瓦定理就十分容易。孩子们小学很多在培训班都是动不动方程和方程组的方法其实我是很反对的这样会搞坏思维，很多小孩几乎没有反过来想的意识。我觉得会做题和考试只是很小的一个方面而不是唯一的，早段时间我带有的小孩突击湘1实验班那套居然被当成法宝了真的晕死。其实一个套路涵盖n类题的做法如果是小孩自己归纳出的对训练思维很有用，可是靠赛塞进去的很容易养成不动脑筋的习惯。这是近年顶级高手反而不如以前的原因就是不善于思考，过于依赖外力忽视了思考。
接下来可以训练全等。基础的4个判定方法很容易学，特别注意边边角不能证明全等。直角三角形有个斜边直角边定理。几何很多难题就是分散的条件难以集中，学三角形的时候就是引用内角和与外角定理。学了全等后往往可以吧分散的条件集中。在讲全等的时候我还是会对比面积法。比如三角形的中位线，平行四边形对边相等，对角线互相平分来说面积法更容易还有明确的目标意识。但是为何我还讲传统几何呢？因为倍长中线是可以构造平行四边形的，要孩子们感受常用的辅助线达到感性认识的地步，另外的目的就是开拓思维。在学了全等后一下就可以证明三角形的3条垂直平分线，角平分线，2条外角平分线和一个对应内角的平分线交于一点。几何中很多的性质定理交换条件和结论就是判定定理。通过全等这个媒介训练四边形的知识平行四边形，菱形，矩形的性质和判定，感受三角形中位线和梯形中位线的应用。此外一个重点就是训练加常用辅助线的感觉。包括一分为二与合二为一。从中体会旋转，平移，对称三大经典的几何变换。主要是综合角度转化借助全等集中分散的条件。训练孩子添加辅助线借助桥来转化。在对全等传统几何有了一定认识后我再次结合面积法和全等来讲经典的几何题。比如内角平分线定理可以结合共边定理的面积法和传统几何的角平分线上的点到角的两边距离相等。当然构造平行线借助等腰三角形证明也是不错的选择。通过对比传统几何和面积法去体会。在最后主要是要孩子们体会直角三角形和等腰三角形的中线。直角三角形斜边上的中线就构造了2个等腰三角形，等腰三角形底边上的中线就可以构造2个直角三角形。连接四边形各边中点就是平行四边形连接矩形的中点就变菱形，连接菱形各边的中点就是矩形。如果综合就是可以进一步体会等腰直角三角形和正方形。此外还可以通过30度角锁对直角边为斜边的一半去体会等腰三角形和等边三角形。总之就是通过面积法和全等训练目标意识，主要通过全等完善几何知识。知识的超前学习只是一个方面更重要的是训练思路。
谈谈面积法相对传统几何的优势。图形结构复杂的问题去构造全等和相似往往思路不自然或者构造的全等或相似对证明不能起到作用而这些交线放一起很容易产生共边定理的同高，有平行线也很容易出现等高的模型这就是我说的目标意识很容易形成，也更容易把条件发力。解题最难得就是条件用不上只要条件都用上了题目自然搞定的了。最后强烈推荐去拜读新概念几何这本著作 新体系中的面积方法这把快刀却可以单独抽
出来，成为传统平面几何解题的新利器。面积方法的最核心定理就是共边定理和共角定理，这两个定理简
单明白，近几年来，在奥数竞赛、高考复习中已经成为必备知识，而中考复习甚至初中课堂上，也有越来
越多的老师在讲授和使用这两个定理，面积方法正在进入课堂已是不争的事实，有志于教学研究的中青年
教师们，都应该学习新概念几何，对自己开拓思路、提高解题能力都将大有裨益。
其实我主要是学习的是张老师的观念。以前自己学竞赛的时候也特别喜爱面积法。除此之外我还特别注重同一法注重逆向思维的训练我觉得这个反过来想的观念是现在培训班学习最欠缺的。另外最重要的一点就是目标意识的训练，在我这训练后很多小孩绕几个明显的地方的题不是问题了。只是一些辅助线难想到而已。这个稍微多做点题很容易解决，最怕的是没想法。我始终认为几何不是做的越多就越好而是要做精和善于归纳。比如平行有哪些方法，垂直有哪些方法，线段相等有什么方法，比例有何方法。自己证明完一个题后去多想想有无其它的方法或更简单的方法。几种方法的共性是什么？证法的优缺点是什么？我如何推广结论等。我觉得学会思考才是最重要的，至于培训和考试仅仅是副产品而已。
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