算两次也叫富比尼原理。它是从两个不同的角度把握同一个事物，或者说用两种不同的观点认识同一个事物。单墫教授把它美称为“三步舞曲”.哪三步呢？一方面，另一方面，两者结合，很多问题就解决了。许多令人头痛的问题运用算两次来解决就异常简单。可以这样说，不管是中学还是小学的列方程解应用题都可以归纳到算两次的范畴。

   所谓的找等量关系就是找同一个事物，姑且我们叫做找对象。一般来说，我们做题最怕就是没有目标，也可以说是找不到对象。先以列方程解应用题为例。最重要的就是找等量关系。实际上的找等量关系就是算两次中的找同一事物。如出现倍数，多少关系，不变量的地方也就是出等量关系的地方。这里我就几类题说说算两次的大方向。一般孩子拿着浓度，商品利润，分数，行程几大问题头痛。具体的问题来说浓度问题其实很简单，关键就是把握溶质。我们算的就是溶质。一方面各个溶液的溶质和。另一方面是混合溶液的溶质。两者是相等的。各个溶液的溶质和等于每种溶液重量乘以对应浓度的和。混合溶液的溶质质量等于混合溶液的重量乘以浓度。两者结合问题也就解决了。至于只加盐或加水的问题就可以看为浓度是百分之百以及0的溶液。商品利润问题算的对象一般是售价。往往它从两个方面入手的。一方面定价乘以打折数等于售价。另一方面成本乘以（1+利润率）=售价。当然也不是绝对的，很多题从题目明显的相等的量入手，比如总利润，总售价也可能是算两次的同一事物。对于多件商品问题和浓度问题类似，同一事物可以是总售价。一方面从各件商品算售价，另一方面可以用一个式子表示总售价，两者结合问题就解决了。至于分数应用题只要抓好了标准量，一般的题目关系是明显的。就是抓住标准量乘以对应倍数=另外的对应数量来解决。如抗冰救灾”期间，某火电厂甲乙两堆煤共1400吨。当甲堆运走 ，乙堆运走100吨时，乙堆煤剩下的吨数是甲堆煤剩下吨数的 。求原来甲、乙两堆煤各有多少吨？

这里我们用算两次来表示方程。算两次就要找到算的对象。也就是方程中说的等量关系。一般来说出现多少，倍数关系，比的地方就是出等量关系的地方。我们从乙堆煤剩下的吨数是甲堆煤剩下吨数的 就找到了算两次的对象。就是想办法从两个方面或用两个式子表示乙堆余下的煤。设甲堆原有x吨

我们从乙的角度考虑乙堆余下的煤如何表示就是乙原有的-100也就是1400-x-100

我们从甲的角度考虑乙余下的就是甲堆煤剩下吨数的

甲堆余下的是（1- ）x    所以乙堆余下的还可以表示为 （1- ）x

1400-x-100= （1- ）x    x=800  乙原有600吨

 

行程问题往往可以从路程不变或时间不变来表示同一事物。至于年龄问题只要从不同状态下表示同一个年龄差就可以从容解决。和倍差倍和差问题运用算两次就更加简单。如果把算两次的思想融入到小学基础教学中那就太简单了。

   接下来我谈谈小学竞赛中很难的题如何用算两次秒杀。比如多次相遇问题。在理解每相遇一次加一周期的全程的基础下结合算两次来理解，多次相遇真的很简单。比如甲、乙两辆汽车同时从A、B两站相对开出，第一次在离A站90千米处相遇。相遇后两车继续以原速度行驶，到达目的地后又立刻返回。第二次相遇在离A站50千米处。求A、B两站之间的路程。

一方面从甲乙两人一起的角度认识。第一次相遇共走1全程，甲走90千米，第二次共走3全程，甲对应走了90 3=270千米。另一方面单独从甲的角度认识。甲走了一个全程返回的时候只少50千米，相当于走了2个全程少50千米。两者结合有了全程是

（270+50） 2=160（千米）

多次相遇和追击问题结合的也可以算两次如

A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从

  B地出发不停地往返于A，B两地之间。若他们同时出发，前后速度保持

不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王。 当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？

分析;我们把路程看为1，我们从两个方面来认识全程。一方面60分钟两人走的路程和是1，另一方面70分钟走的路程差是1.  实际上小张与小王的速度和=1/60,小张与小王的速度差=1/70  由和差问题关系小张速度为（1/60+1/70）÷2=13/840

小王速度为（1/60-1/70）÷2=1/840  时间相等所以路程比等于速度比。小王到终点的时候小王走了13个全程。他们共走14个全程  第n次迎面相遇就共走（2n-1）个全程。所以迎面相遇7次

接送问题运用算两次也很方便如

例1某乡镇小学师生去县城参观，汽车从县城出发计划7点到学校接师生立刻去县城，中途车出了故障只好修理。该校师生等到7点10分就步行去县城。中途遇到了修好的车立刻上车去县城。汽车速度是步行的6倍，结果比计划迟到了30分钟，修车修了多久？

分析：此题我们是从两个方面来认识同一个事物。这个东西就是迟到的时间。

我们从师生角度思考这30分钟分为两个部分。一是等的10分钟，20分钟是因为步行速度比汽车慢造成的。因为汽车速度是步行的6倍。走相同的路由反比例我们知道步行时间是汽车的时间的6倍。由差倍关系知走同样多路程汽车只要20 （6-1）=4分钟。另外一方面从汽车角度来说，师生步行是帮它省时间。如果师生一直等则耽误时间是修车时间。所以师生步行帮汽车是在省时间。师生步行路程对应汽车要走一个来回共4×2=8分钟。所以省了8分钟。所以修车修了30+8=38分钟

例2甲乙两班同时从A去距离A  75千米军营B军训。甲步行4千米每小时，乙步行5千米每小时，学校有一辆汽车，该车空车时速40千米，载人20千米每小时，这辆车一次只能带一个班。至少多久后两个班都能到终点？

分析：我们要使得时间最短关键就是减少接一个班的相遇时间和追另一个班的追击时间，很明显要速度快的先步行这样可以减少相遇路程。以后也可以减少追击路程。所以较好的方案是汽车先带甲班到中途然后去接乙，最后在终点追上甲班。乙班步行时间就是汽车接甲的相遇时间加上追乙的追击时间。

我们可以从甲步行的时间作为算的对象。一方面从甲的角度看就是他自己步行的时间。另一方面是从车子角度看就是车子接乙以及追甲的时间和。设带甲班走了x小时

（20x-5x）/（40+5）=x/3小时是相遇时间，因为甲速度快所以追击路程在15x基础上每小时减少1千米，追击路程是15x-(5-4) ×x/3=44x/3千米,追击时间44x/3 (20-4)=11x/12

用两个式子表示甲步行的时间。一方面甲步行时间就是步行路程除以它的速度

(75-20x)/4另一方面是相遇时间加追击时间为x/3+11x/12两者结合有x/3+11x/12=(75-20x)/4   x=3

所以一共要3+(75-3×20) 4=6.75小时

电车发车问题运用算两次几乎是简单的无以伦比。如

例1小明在AB两站间的公路上行驶，每隔一定时间时间开出一辆车，他每隔4分钟迎面遇到一辆车，每12分钟有一辆车背后追上小明，求汽车隔多久发车？

分析;我们从两个方面来认识车间距。追击角度认识一方面从追击角度认识汽车12分钟追小明1个车间距。另一方面，从相遇的角度认识汽车和小明4分钟共走1个全程。

两者结合汽车与小明速度和是1/4个车间距，汽车和小明速度差是1/12个车间距

运用和差关系汽车速度（1/4+1/12）÷2=1/6个车间距。车间距除以汽车速度就是发车时间为6分钟。

例2甲乙两站是电车始发站，每隔一定时间发车，小张和小王分别从甲乙出发相向而行。每辆电车隔4分钟遇到一辆迎面开来的电车。小张每隔5分钟迎面遇到一辆电车，小王每6分钟迎面遇到电车。电车走完全程要56分钟。小张和小王多久后相遇？

分析：其实不管电车和人，还是电车与电车相遇路程都是相邻电车之间的路程。

我们把电车速度看为1，相遇路程就是（1+1）×4=8所以8 1=8分钟发一次车

我们从两个方面来认识8，这个8就是车间距。一方面小张和电车5分钟走的距离是8，小张速度是8/5-1=3/5。另一方面小王和电车6分钟走的距离是车间距8

小王速度8/6-1=1/3.总路程是1×56=56两者结合相遇时间为56 （3/5+1/3）=60分钟

小结：电车车问题不变量就是车间距。我们从车与人相遇路程都是车间距的角度入手顺利解决了此题。如果过分拘泥局部此题是很难解决的。

一列火车10点追上一辆自行车，15秒后超过。10点30遇到一个步行人，10秒离开，什么时候自行车和行人相遇？

分析：我们从两个方面认识车长。我们把车长看为1.  从追击人时15秒追了1所以

火车速度-自行车速度= 1/15    （1）另一方面从相遇认识。10秒共走了1，

火车速度+人的速度=1/10  （2）  （2）—（1）有

人的速度+自行车速度=1/10-1/15=1/30    30分=1800秒

现在算出自行车与行人速度和，关键要知道相遇路程10点时候火车和自行车在同一位置此时火车与人的相遇路程就是自行车与人的相遇路程，我们有1/10×1800=180 我们这里再次使用算两次，通过相遇路程不变入手。所以180÷1/30=5400秒=90分，所以11点30相遇。

以上几个例子都是运用算两次来解决行程问题的。

接下俩简单提下数论不定方程和组合杂题部分也是可以运用算两次解决很多问题的。

例1如小明在做1+2+3+。。。的时候漏一个加数得到了4979，他漏了哪一个加数？

我们设最后一个加数是x，漏了的加数是y

1+2+。。。+x=4979+y，一方面1+2+。。。+x大于4979

（1+x）x/2>4979   x(1+x)>9958  x=99的时候x(1+x)是9900。X=100的时候是5050，所以x不小于100，另一方面1+2+3+….+(x-1)小于4979所以x(x-1)/2<4979,x(x-1)<9958  x=100的时候是9900，x=101的时候就是10100了所以x不大于100，两者结合x=100，代入后y=71

例2正整数A后面填3个数字，组成一个新数，它等于1+2+3+。。。+A  A=

分析：我们从新数入手设加的数为B,B不小于0小于1000.运用等差数列求和一方面和为 ，另一方面为1000A+B，于是得到不定方程1000A+B=

再次运用不等式来算两次一方面和不小于1000A有    两边同时除以A得到   (1+A)/2 1000

所以A至少是1999，另一方面另外因为B小于1000，所以

两边同时除以A+1得到  得到了A <2000,A最多为1999两者结合A=1999,B=0

例3  则整数x=

分析

一方面  ，  x<2030/12=

另一方面 <1        29x>4900

x>   又x是整数两者结合x只能为169

求s的整数部分

分析：分子为1，如果我们放大分母分数就缩小  我们把分母中每个加数都放大成1/1981

一方面s>

我们如果把分母放小分数就变大，把每个加数放成

另一方面S< ,两者结合s的整数部分就是110

在组合部分部分来说算两次更是不二法门如02年理科实验班压轴题

10人进行单循环象棋比赛。胜一局得2分，平得1分，负得0分。10人得分各不一样。前2名保持不败，第三名得分比前两人的和少20分。第四名得分等于后四人得分，求前六人各得多少分？
分析：这里出现共同点的是第四名。我们可以运用算两次的思想以第四名为对象。每场比赛双方得分的孩子和是2分不变的，10人共比45场比赛得分和90分。一方面：第一名没有全胜至多17分，由于得分互不一样，第二至多16。所以第三至多13分，第四至多12分。另一方面，从后四名角度思考认识第四名得分。后4名他们内战6场共得分12分。所以后四人至少得12分。第四名得分既不能高于12分又不能低于12分，所以就是12分。所以第一17分，第二16分，第三13分。后四人得12分。所以第五和第六共得分90-17-16-13-12-12=20分。接下来我们对第五名算两次。因为第五名分高就多于平均数10分至少11分。另一方面第五少于第四的12分至多11分，第五就是11分，第六名得了9分。
小结：此题运用了两次 算两次。第一次以第四名为对象，第二次以第五名为对象，结合了抓不变量，不等式的夹逼的思想使得问题顺利解决。我觉得中小学竞赛，甚至基础学习中很多问题都可以用算两次的思想来理解。我准备专门编个算两次专题供大家分享。

几何中也无处不存在算两次。比如平行线分线段成比例就可以用算两次来说明。证明就是从两个不同的角度表示同一个面积比。共边，梅捏劳斯，塞瓦定理的运用以及面积法可以统统归纳于算两次的范畴。最后我就一个很经典的鸡兔同笼问题用算两次的方法一题多解。

例1 笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？

分析1：图形法


我们从两个角度来认识脚的只数。我们构造上图。每只鸡或兔的脚数看为宽。鸡和兔的只数看为长。一方面140是两个空白部分面积的和。另一方面它是大长方形AFDC与阴影部分的面积差。大长方形面积是50乘以4=200，两者结合阴影部分是200-140=60，对鸡来说FE的长度就是鸡的只数用面积60除以2就是=30只，50-30=20（只）兔子。

分析2：假设一个未知数是已知的，比如假定50个头全是兔，则共有脚（4×50=）200（只），这与题中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚，所以鸡的只数是（60÷2=）30（只），则兔的只数为（50-30＝）20（只）。

分析3：我们从两种不同的角度认识总的脚数。一方面总的脚数是140，另一方面它是鸡的脚数与兔子脚数的和 设鸡x只  2x+4(50-x),两者结合得到方程

2x+4(50-x)=140  x=30  兔子就是20只

分析3：从鸡和兔的平均数来认识问题，鸡和兔共50只，平均有140除以50=2.8只脚。每只鸡少0.8只脚。每只兔多1.2只脚。一方面如按鸡来看就比按平均算少少出的数量。另一方面这个数量是兔子补充了。两者结合鸡的只数和兔子的只数比是1.2：0.8=3：2按比例分配得到鸡30只兔子20只

 

 

我们改写为十字交叉的形式  2       1.2

                             2.8

                           4       0.8

鸡兔只数比为1.2：0.8=3：2，按比例分配得到鸡30只兔子20只

在初一的流水行船问题用算两次很容易理解的如

一轮船在AB码头间航行，顺水要4小时，逆水要5小时。水流速度每小时2千米。求两码头的距离？

分析：我们从两个方面认识路程。一方面顺水的路程等于两码头距离

设静水速度每小时x千米

得到4（x+2）另一方面逆水路程为5(x-2)

4（x+2）=5(x-2)   4x+8=5x-10  x=18

所以路程是（18+2） 4=80千米

实际上也可以画面积图结合。

形如因数乘以因数=积的形式的应用题都可以考虑用面积来解

特别是行程，盈亏，鸡兔同笼，乘法分配律，结合律，减法的简便运算都可以结合算两次和面积法。问题可以秒杀。深入理解了算两次，初中的列方程方程组解应用题，列不等式不等式组解题都变得异常简单。下面我们看几个一元一次不等式组解题的例子

例1：某中学为初一一班学生安排宿舍，如每间4人，就有20人无法安排，如每间8人就有一间住不满。求宿舍间数和寄宿人数

分析;我们设宿舍x间我们对总人数来认识为4x+20。我们从每间住8人来认识.一方面如果注满是8x人此时总人数4x+20<8x,另一方面总人数比最后一间不住人多得到4x+20>8(x-1)

两个不等式结合得到了x大于5小于7，x又是整数x=6人数就是44人。

例2：某工厂现有甲种原料360千克，乙种290千克。计划生产A,B产品共50件。生产一件A要甲种原料9千克，乙种3千克。生产一件B要甲4千克，乙10千克。请设计出方案。

分析：设甲有x件。一方面总共使用甲原料是生产AB使用甲原料的和为9x+4(50-x)，另一方面使用甲不能超过360，两者结合列出不等式9x+4(50-x)小于等于360

使用乙原料的和是3x+10(50-x) ，另一方面使用乙不超过290，两者结合得到不等式3x+10(50-x)小于等于290，解不等式得x不小于30，不大于32

结合x是整数有30，20；31，19；32，18三种选择。

函数更加可以算两次，很多问题可以从数的角度认识又可以从形的角度认识。

综上所诉，算两次的思想就是给人一种一览众山小的感觉。它在于战略高度还不是具体的战术套路，我觉得这比学理念还高一个层面。可以说吃透算两次的思想几乎就把握了整个中小学数学以及竞赛各类问题的脉搏。很多算两次的问题能结合图形直观，整体与局部的思想，夹逼的思想。可以说很多问题不需要拘泥于局部，从整体把控。有的问题是整体与局部的结合如浓度，利润，鸡兔同笼问题。从大处着手数学中的方程，函数，不等式与不等式组，数论，几何，组合可以运用算两次。从小处着手，可以解决鸡兔同笼，浓度，商品利润，分数

盈亏，和倍，差倍，和差，共边定理，植树问题，多次相遇，电车发车，接送问题等都可以运用算两次的思想。最后说下几何中的算两次思想。运用面积法是算两次的典范。主要包括个部分面积和等于整体面积。以及同高或等高的时候面积比等于对应底边的比。