第九课时 数列求和问题（三）

教学内容：等差数列（三）

教学目标：1.根据等差数列的特征及和，能够求等差数列中的首项、末项、公差。2. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透倒推的解决问题的策略。

教学过程：

一、复习

回忆求等差数列和、首项、末项的方法。

（一）体会新知

出示：有一队等差数列共有7项，首项是1，和是49，求这队数列的末项。

学生可能会用已经学过的方法解决，但是发现不能解决。

教师引导学生从求和的方法入手，用倒推法求出求末项的第二种方法。

（首项+末项）×  项数  ÷   2  =  和

末项=和  ×2÷项数-首项

【解答】末项=49×2÷7-1=14-1=13

练习：一队有31项的等差数列，首项是12，和是2697，求末项的值。

（二）模仿提升

出示：有一队等差数列共有21项，末项是67，和是777，求这队数列的首项。

讨论：和可以用以前求首项的方法吗？你想到了什么方法？

讨论交流，用刚才同样的方法思考。

首项=和  ×2÷项数-末项

【解答】首项=777×2÷21-67=74-67=7

练习：有一队等差数列共有15项，末项是45，和是360，求这队数列的首项。

独立练习，集体交流。

（三）拓展延伸

1.出示： 39个连续奇数的和是1989，其中最大的一个奇数是_____。

【解答】和=1989×2÷39=3978÷39=102

因为首项和末项之间相差（39-1）×2=76，根据“和差问题”的计算方法即可算出最大的奇数和最小的奇数。

练习：20个连续偶数的和是820，分别求出最小的偶数和最大偶数的值。

三、小结：今天我们继续学习了什么内容？你又得到了什么收获？

 

 

 

 

 

 

第十课时  数列求和问题（四）

教学内容：变式求和

教学目标：1.培养学生观察、分析能力，根据数据特点选择合理的计算方法。

          2.能够运用知识解决类似的问题，拓展计算能力。

教学过程：

一、体会新知

出示1×2000+2×2000+3×2000+……2000×2000

讨论：观察这道算式，你有什么发现？可以用什么运算律？会解决吗？

学生独立练习，集体校对。 

【解答】原式=（1+2000）×2000÷2×2000=2001×2000000……

练习：1÷1999+2÷1999+3÷1999+……1999÷1999

学生讨论后练习，然后集体校对。

【解答】原式=（1+1999）×1999÷2÷1999=2000÷2=1000

小结：和例题比较，两道题目有什么相同和不同的地方？

二、模仿提升

出示：求1—100以内所有不能被5或7整除的数的和。

学生讨论方法。

指出：在1—100中，5的倍数和7的倍数相对少些，因此我们可以先分别求出5的倍数的和与7的倍数的和。

【解答】（1）5的倍数的和

项数：（100-5）÷5+1=20

和：5+10+……+100=（5+100）×20÷5=1050

（2）同理求出7的倍数和是735.

（3）指出：35和70既是5的倍数，也是7的倍数。

  总和=5050-1050-735+35+70=3370。

练习：所有被7除余数是1的二位数的和是_________。

三、拓展延伸

有一列数：1,1993,1992,1,1991,1990，1……从第3个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求前1993个数之和。

【分析】（1）若把题目中1抽出，剩余数字正好是一个等差数列。

（2）在原数列中3个数一组出现一个1，则1993个数中共有1的个数是：1993÷3=664……1，说明有664+1=665个1。

（3）除1以外，剩下的数有1993-665=1328个数。

【解答】因为：1993÷3=664……1，所以

项数=1993-（664+1）=1328，末项=1993-（1328-1）×1=666

         和=（1993+666）×1328÷2+1×665=1766241

练习：5．2000×1999-1999×1998＋1998×1997-1997×1996＋…＋2×1

解：原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…

＋3×（4－2）＋2×1

＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2＝2000000。

四、总结：这节课我们学习的内容都运用了哪些知识？你有什么收获和大家交流一下。

               第十一课时   数列求和问题（五）

教学内容：分组求和

教学目标：教学目标：1.培养学生观察、分析能力，根据数据特点选择合理的计算方法。

          2.能够运用知识解决类似的问题，拓展计算能力。

教学过程：

一、体会新知

出示：1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+2009-2010-2011+2012+2013

“观察这组数据，有什么特点？运算有什么特点？你有什么发现？”

【分析】根据数列的特征与计算规律，我们可以把数列中的每若干项作为一组。这样就可以将整个数列分成若干组，并且每组中若干项的计算，结果相同，或所得的结果成等差数列，由此巧算出题目的结果。这种思路叫分组求和。

指出：分组数字的特点是4的倍数为每组结束的最后一个数。

【解答】

组数：2013÷4=503……1

原式=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+（9-10-11+12）+…+（2009-2010-2011+2012）+2013=0×503+2013=2013

练习：1+2-3-4+5+6-7-8+9+……-1995-1996+1997+1998

重点指导学生几个数一组，每组结束的数有什么规律，有这样的几组，还剩余哪几个数。

二、模仿提升

出示：计算：1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12……+1995+1996

【分析】可以从第3个数一起分段，每8个数作为一组，每组数计算结果为0。

每组数最后一个数比8的倍数多2

组数：（1996-2）÷8=498……2

【解答】原式=1+2+0×498+1995+1996=3994

指出：还可以从第5个数起分段，每8个数一组，每组数计算结果为16。学生自行解答。

三、拓展延伸

出示：将1—1996这些数任意分成2组，是两组数的和相减，差为1996，应该怎样分组？

【分析】1.将这1996个自然数进行观察，我们会发现：1995-1994-1993+1992=0；1991-1990-1989+1988=0……7-6-5+4=0

正好3-2-1=0。

【解答略】

【分析】2.将1996个数分成2个数一组，正好一共可以分成998组，每组两个数的差是2，最后将所有的差相加正好是1996。

四、总结：今天你学习了哪些内容？有什么收获？

五、课后思考：最后一题我们还可以找一找其他的方法吗？

 

 

 

第十二课时    数列求和问题（六）

教学内容：数列练习

教学目标：1.进一步提高学生对等差数列相关概念的理解，会解决相关计算。

2. 能根据实际情况，运用公式解决相应的问题。

教学过程

1．找出规律后填出下面数列中括号里的数：

(1) 1， 3， 5， 7， (   )， 11， 13， (   )，…

(2) 1， 4， 7， 10， (   )， 16， 19， … 

2.已知等差数列5，9，13，17，…，它的第15项为_______.

3.已知等差数列2，7，12，…，122，这个等差数列共有_____项。

4．从25往后数，再数18个连续的奇数，最后一个奇数是______。

5.有一队从大到小的等差数列共81项，公差是9。末项是16，首项是       。

6．被4除余1的两位数共有____个。

7．等差数列2，5，8，11，…，共有80项，其中所有奇数的和为_____。

8．一个等差数列的第2项是2.8，第3项是3.1，则这个数列的第10项是_____.

9．某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人，每2名并列2人，每三名并列3人，……，每十五名并列15人，用最简便的方法计算出得奖的一共有______人。

10． 自1开始，每隔三个自然数写出一个自然数来，得到一个数列，这个数列的前五项是 __________________，这个数列的前50项的和是_____________。

11．在1949，1950，1951，……，1999，2000这52个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多_____。13．在13和29之间插入三个数，使这五个数成等差数插入的三个数依次是_______.

12．有一批铁管，最低下一层是10根，倒数第二层是9根，以后每往上一层，铁管少一根，那么十层铁管一共有______根。

13．小玲从一月一日开始写大字。第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大 字，结果全月一共写了589个大字，小玲每天比前一天多写______个大字。

14．九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是______。 【解答技巧：即8个连续偶数的和是232，将题目变成求8个连续偶数中最大的数】

15．编号为l～9的九个盒子中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多同样多粒米，如果一号盒子放11粒米，问：后面的盒子比它前一号的盒子多放____粒米；如果 3号盒子内放了23粒米呢?

 

 

 

 

 

 

 

                 补充：数列部分练习题（一）

1.有一列数：2,5,8,11,14,17,……

（1）它的第十三个数是几？                          （2）47是它的第几项？

 

2．求出下列数列的和：

（1）1＋2＋3＋……＋24                      （2）2＋4＋6＋……＋200

 

 

              

（3）3＋7＋11＋……99                   （4）4＋7＋10＋……＋292＋295＋298

 

 

3.求数列2,2,4,6,6,10,8,14,10,18……的第20项和第25项。

 

 

4.按一定的规律排列的算式：3＋1， 4＋7， 5＋13， 6＋19……,那么，第100个算式是什么？

 

 

5.在数列4,9,16,25,36,……中，第79个数是多少？

 

 

6.如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项。

 

 

7.在13与49之间插入3个数，使这5个数构成等差数列。

 

 

8.计算：（2＋4＋6＋……＋596＋598）－（1＋3＋5＋……595＋597）

 

 

 

9.有一堆钢管，最上一层有10根，最下一层有50根，而且每层之间相差2根，这些钢管一共有多少根？

 

 

10．有一本故事书，小红第一天读了7页，以后每天比前一天多读3页。他读到第9天刚好读完。这本故事书一共有多少页？

 

 

 

 

 

                   数列部分练习题（二）

1．一条线段上有20个分点，共得______条不同的线段。

2．数列1，3，6，10，15，21，…，的第100项为_______.

3．我们知道墙上的挂钟几点钟就打点几下，每半点钟，打点一下

问挂钟在一昼夜共打点_____下。

4．在1～100内所有不能被5或9整除的数的和是_______。

    5．某次宴会结束时总共握手28次，如果参加宴会的每一个人，和

其他参加宴会的每一个人都只握一次手，参加宴会的一共有____人。

6．下面的算式是按一定规律排列的，那么第100个算式的得数是

4+3，5+6，6+9，7+12，…

7．39个连续奇数的和是1989，其中最大的一个奇数是_____.

 8.若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人。

(1)如果最内圈有32人，共有____人。

(2)如果共有304人，最外圈有上____人。

    9.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，……，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，问从第一个

起1993个数这1993个数之和为______。

   10．设自然数按照下面的方式排列，问第十行第一个数字是______.

对角线上的第10个数字是_______。

1 3 6 10 15 21 …

2 5 9 14 20 … …

4 8 13 19 … … …

7 12 18 … … … …

11 17 … … … … …

16 … … … … … …

 

 

 

 

                第十三课时  图形计数问题

教学内容：线段和角计数问题

 教学目标：1.使学生学会解决数线段的问题，掌握有序分类图形的方法。增强学生应用数学的意识。

2.通过活动，培养学生的口头表达能力、初步的观察推理能力和探究问题的能力。进一步培养学生的发散思维和创新能力。

3.培养学生学习数学的兴趣，扩展学生的视野，感受数学与现实的联系，养成善于和同学合作，共同讨论和探索问题的习惯。

   一、感知体会

出示：画一条线段，在线段上标出4个点，数数共有几条线段？

                └──┴──┴──┘

          A     B     C     D   

   学生独立数，小组讨论交流。                                          

        （1）按序数数  以点数线段，注意去掉重复的线段。共有3+2+1=6（条）。

  （2） 分类数 以分别含有一段（也叫基本线段）、二段、三段为一条线段分类数，共有3+2+1=6（条）。

  练习：1.在一条直线上标有有100个点，一共有多少条线段？

2.一列火车从常州到上海，途中要停靠4个站。常州车站售往上海方向的车票一共要准备几种？ （注意要符合题目要求)

小结：如果在同一条直线上有n个点，那么这条直线上的线段数=

（n-1）+……+2+1，用等差数列求和化简，即“线段数=n×(n-1)÷ 2”

二、模仿提升

 出示：数一数，下列图中各有几个角？

 

 

 

你是怎么想的？

练习：数一数，下列图中各有几个三角形？

 

 

 

 

 从数角、数三角形和刚才的数线段中，你发现了什么？（师问）

三、拓展延伸

出示：数一数，右图中一共有    

多少条线段 。      

讨论：你打算怎样数？

【分析】1.从A点思考

（1）发现线段AA_1、AA_2、AA_4、AA₅上各有5个点，这4条线段上一共有5×（5-1）÷2×4=40条

（2）AB、AA₃、AA₆上各有4个点，线段数=4×（4-1）÷2×3=18条

（3）AC上有3个点，……3条

2.从B点思考（重复不考虑）

BC和BC₁上各有8个点……56条

3.从B₁考虑

B₁A₆上有7个点 ……21条

4.从B₂考虑

B₂C₁上有8个点……28条

总条数：40+18+3+56+21+28=166条

练习：数一数，下图中共有多少条线段。（横112+竖48）

 

 

 

 

 

 

 

四、总结：这节课我们学习了什么内容？你有什么收获？

 

 

 

 

 

 

第十四课时  数字趣题

教学内容：数字趣题

教学目标：1.根据已知条件，分析数或数据的特点，寻找其中的规律。

2.运用列举法排列各种可能，并用排除法排除不符合题意的部分。

一、体会新知

出示：1—200这200个自然数中，数字“0”出现了多少次？

学生自由讨论，汇报交流。

【分析】1.个位上是0的数有10、20^190、200，计20次。

        2.十位上是0的数有：100、101、……109、200，共11次。

        所以0一共出现了20+11=31次。

练习：1. 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？（20）

2. 出示：1—300这300个自然数中，数字“0”出现了多少次30+21=51

二、模仿提升

出示：1—200这200个自然数中，多少个自然数中有“0”？

和刚才的例题比较，有什么不同？第一题100

指出：第一题100中0出现了两次，所以要计2次，而100中有0，只能算一次，所以要分清题目的意思。

【分析】（1）1-100，10个数中位上有0

        （2）101-200,9+10=19个数中有0.

1—200这200个自然数中，29个自然数中有“0”

追问：如果201—300，有多少个数中有0？

还可以从数位考虑，但是要去掉重复的整百数。

练习： 1-1000这1000个自然数中，多少个自然数中有“0”？（181）

       独立练习，集体校对，校对时说说是怎样很快算出来的。

三、拓展延伸

出示：50-250中，多少个自然数中有“5”？

学生先讨论，然后集体交流。

【分析】（1）50-100，有5的数有10+4-1=13个

“为什么还要减一？”

（2）101-200，有10+10-1=19个。

（3）201-250，有5+1=6个。

“为什么要加一？”

50-250中，38个自然数中有“5”.

练习：1. 1-1000这1000个自然数中，多少个自然数中有“5”？

          注意555在501—600中出现的次数。

      2.有一列数：1223334444……，每个数都写相同的次数。当写到20时，数字1出现了多少个？（157个）

四、总结

  这节课我们探讨了什么内容？你有什么收获？

 

 

 

第十五课时   数字趣题

教学内容：页码中的数字

教学目的：1.根据已知条件，分析页码数或数据，寻找其中的规律。

2.运用列举法排列各种可能，并用排除法排除不符合题意的部分。

教学过程：

一、体会新知

出示：一本故事书有158页，给它编上页码共需多少个数字？

学生讨论题意，交流自己的想法。

【分析】（1）1-9共需9×1=9个数字

       （2）10-99，需要90×2=180个数字。

       （3）100-158需要59×3=177个数字。

一本故事书有158页，给它编上页码共需366个数字。

练习：1. 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？

      2. 笑笑的《新华字典》共有1050页，给它编上页码共需多少个数字？（3093）

二、模仿提升

出示：给一本课外书编上页码，共需558个数字，这本书有多少页？

学生讨论，交流想法。

【分析】本题可采用倒推法和估数相结合。1-9共需1×9=9个数字；10-99，需要90×2=180个数字。100到999需要900×3=2700个数字。（1）558-9-180=369个，369÷3=123（页）

（2）总页数9+90+123=222页。

练习：给一本《美文诵读》编上页码，需要789个数字，这本书有多少页？

独立练习，做完后交流学生的想法。

三、拓展延伸

出示：按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0—55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5，那么，可供每支球队选择的号码共多少个？

一位数：10个，二位数是一个符合范围选数之后进行搭配的问题，所以共5×6=30个，所以一共有40个号码可供选择。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           第16课时    数字趣题

教学内容：数字趣题

教学目标：1.根据已知条件，分析数或数字特点，寻找其中规律；

          2. 找出数中数字之间的关系进行推理，列出算式或竖式，解决问题。

教学过程：

    一、体会新知

出示：一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍。这个四位数是多少？

学生读题，理解题意，交流想法。

【分析】  由于个位数字是千位数字的3倍，而百位数字和十位上数字又是个位上数字的3倍，所以，千位上的数字只能是1，否则，百位和十位上的数字将大于9。因此，这个四位数的千位是1，个位是3，而百位和十位上都是9，即1993。

练习：有一个四位数，千位和个位上的数字相同，且百位上的数字是十位上的3倍，十位上数字是个位上的3倍。这个四位数是多少？

二、模仿提升

出示：有一个三位数，各位数字的和是17，其中百位数字比个位数字的5倍还多2，请写出这个三位数。

学生读题，理解题意，交流想法。

【分析】a+b+c=17      a=5c+2

因为c=1时,a=7,c=2时,a>9不合题意,

所以c=1,a=7,b=17-1-7=9

这个三位数是 791

三、拓展延伸

出示：一个三位数的各位数字之和是17，其中十位数字比个位数字大1。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原数大198，求原数。

学生读题，理解题意，交流想法。

【分析】把数字写成abc，则abc+198=cba ，a≠0，a>c,且b=c+1，

因为cba -abc =198，中间一位为9，必须借位，（用竖式学生更易于理解）

所以c-a=2，又知道a+b+c=17，

代入，得：c-2+c+1+c=17，

 c=6，b=7，a=4

练习：有一个三位数，如果把数字4写在它的前面可得到一个四位数，写在它的后面也能得到一个四位数，已知这两个四位数相差2889，求原来的四位数。

【分析】设原来的三位数为 ABC，当把数字4写在它的前面时，得到的四位数为4ABC ；当把数字4写在它的后面时，得到的四位数为 ABC4。根据“这两个四位数的差为2889”列出如下两个减法竖式：4ABC- ABC4 =2889 和ABC4-4ABC =2889 进行推算，原来的三位数是123或765。

四、总结：这节课你有什么收获？有什么想法？

           第十七课时    数字趣题

教学内容：数字趣题

教学目标：1.根据已知条件，分析数或数字特点，寻找其中规律；

          2. 找出数中数字之间的相差关系和倍数关系，转化成“和倍”、“差倍”或竖式等问题。

教学过程：

一、体会新知：

出示：把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好是原来四位数的35倍。原来的四位数是多少？

学生读题，理解题意，交流想法。

【分析】  把数字6写到一个四位数的左边，得到的数就比原来的四位数增加了60000，再加上8000，一共增加了68000。这时所得的数是原数的35倍，比原数增加了34倍，所以原数是68000÷34=2000。

练习： 把数字8写在一个三位数的前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数的21倍。原三位数是多少？（400）

二、模仿提升

出示：如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000。原数是多少？

【分析】在原数后面在加一个6，就是把这个数扩大10倍后再加上6。，由于得到的新数比原数增加了6000，说明原数的10倍+6等于原数+6000，说明6000比原数的9倍还要多6，所以原数的9倍等于6000-6，（6000-6）÷（10-1）=5994÷9=666

三、拓展延伸

出示：有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一位，其余数字顺序不变，所得新六位数是原数的4倍。原六位数是多少？

【分析】1.用竖式：根据题意得到：abcde6×4=6 abcde，然后引导学生用竖式进行推理。

2.推理：a只能等于1，因为a要等于2的话，4倍就是8，比6大了

4×6=24，说明e=4      46×4=186   说明d=8

846×4=3384   得出c=3    3846×4=15384  得出b=5

53846×4=215384  得出a=1

所以abcde6=153846    6abcde=615384

练习：一个六位数的末位数字是7，如果把7移动到首位，其它五位数字顺序不动，新数就是原来数的5倍。原来的六位数是多少？

【分析 】 用字母表示出未知的五位数，原数为ABCDE7，新数为7ABCDE。根据题意可写出下面的竖式，再从个位推算起。

（1）个位7×5=35，E是5；（2）十位5×5＋3=28，D是8；

（3）百位8×5＋2=42，C是2；（4）千位2×5＋4=14，B是4；

（5）万位4×5＋1=21，A是1。

原数是142857。

四、总结：这节课我们的数字题主要运用了哪些方法？

 

              第十八课时  数字趣题

教学内容：数字趣题

教学目标：1.根据已知条件，分析数或数字的特点，寻找其中的规律；

2.结合题意，可将题中条件用文字式、竖式表示，然后借助文字式、竖式进行分析推理。

3.培养学生数学推理能力，促进思维发展。

教学过程：

一、体会新知

出示：有一个四位数，个位数字与千位数字对调，所得的数不变。若个位与十位的数字对调，所得的数与原数的和是5510。原四位数是多少？

【分析】  根据已知条件，设原数为ABCA，则后来的数是ABAC，写成竖式：

    A  B  C  A

 + A  B  A  C

   5  5  1  0

（1）从千位看，A一定是2；

（2）从个位看，C一定是8；

（3）从百位看，B一定是7。

所以，原四位数是2782。

练习：一个两位数，十位的数字比个位数字少1，把这个两位数的个位与十位数字对调，所得新数与原数的和是165。求原来的两位数。

二、模仿提升

某地区的邮政编码可用AABCCD表示，已知这六个数字的和是11，A与D的和乘以A等于B，D是最小的自然数。这个邮政编码是多少？

【分析】  D是最小的自然数，即D是1，要满足（A＋1）×A=B和六个数字的和是11这两个条件，A只能是2。则B=（2＋1）×2=6。A＋A＋B＋D=2＋2＋6＋1=11，C一定是0。因此，这个邮政编码是226001。

练习：

三、拓展延伸

出示：有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的三个连续自然数，这六个数字的和恰好等于末尾的两位数。求这个六位数。

【分析】假设这个数为B(B+1)(B+2)AAA.依据题意，这6个数字之和恰好等于末尾的两位数，即3(B+1)+3A=10A+A,化简后得3(B+1)=8A。根据3的倍数的特征，则A必为3的倍数。代入为（1）A=3，B=7;(2)A=6，B=15;不合(3)A=9，B=21;不合(4)A=0，B=-1不合。

所以原数是789333

练习：有一个六位数，其中左边三个数字相同，右边三个数字是从小到大的三个连续自然数，这六个数字的和恰好等于末尾的两位数。求这个六位数。（333012）