我们先来看一个数学问题——很出名的“割圆术”：

 请同学们阅读下面的关于刘徽的“割圆术”．

 分割和逼近的方法在物理学研究中有着广泛的应用．早在公元263年，魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”——圆内正多边形的边数越多，其周长和面积就越接近圆的周长和面积．他著有《九章算术》，在书中有很多创见，尤其是用割圆术来计算圆周率的想法，含有极限观念，是他的一个大创造．他用这种方法计算了圆内接正192边形的周长，得到了圆周率的近似值π=157/50(＝3.14)；后来又计算了圆内接正3072边形的周长，又得到了圆周率的近似值π=3927/1250(＝3.141 6)，用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，早在古希腊的数学家阿基米德首先采用，但是阿基米德是同时采用内接和外切两种计算，而刘徽只用内接，因而较阿基米德的方法简便得多．

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  刘徽采用了无限分割逐渐逼近的思想．圆内接正多边形边数越多，周长和面积就越接近圆的周长和面积．下面我们采用这种思想方法研究匀加速直线运动的速度-时间图象. 一物体做匀变速直线运动的速度-时间图象.如图甲。

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  我们模仿刘徽的“割圆术”的做法，来“分割”图象中图线与初、末时刻线和时间轴图线所围成的面积．请大家讨论．展示图乙、丙

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  点评：我们先把物体的运动分成5个小段，例如t/5算一个小段，在v—t图象中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示(如图乙)．

  我们以每小段起始时刻的速度乘以时间t/5近似地当作各小段中物体的位移，各位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表．5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移．

 请大家对比不同组所做的分割，当它们分成的小段数目越长条矩形与倾斜直线间所夹的小三角形面积越小．这说明什么?

  结论：就像刘徽的“割圆术”，我们分割的小矩形数目越多，小矩形的面积总和越接近于倾斜直线下所围成的梯形的面积．

  当然，我们上面的做法是粗糙的．为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移．从v—t图象上看，就是用更多的但更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移．

  可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和，就能准确地代表物体的位移了．这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起组成了一个梯形OABC，梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动物体在0(此时速度是v₀)到t(此时速度是v)这段时间内的位移．如丁图。

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  那么，怎样求梯形的面积呢？

  找学生回答并展示：在图丁中，v—t图象中直线下面的梯形OABC的面积是S=(OC+AB)×OA/2

  把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x＝(v₀+v)t/2

  把前面已经学过的速度公式v＝v₀+at代人，得到x＝v_ot+at²/2

  这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。

  在公式x＝v_ot+at²/2中，我们讨论一下并说明各物理量的意义，以及应该注意的问题。

 上面的推导过程中，有一步x＝(v₀+v)t/2，结合前面所学的平均速度公式，我们可以得到什么结论？

   1280年到1340年期间，英国牛津的梅尔敦学院的数学家曾仔细研究了随时间变化的各种量．他们发现了一个重要的结论，这一结论后来被人们称为“梅尔敦定理”．将这一实事应用于匀加速直线运动，并用我们现在的语言来表述，就是：如果一个物体的速度是均匀增大的，那么，它在某段时间里的平均速度就等于初速度和末速度之和的一半，即：

  可见复杂的物理规律却有着简捷的数学表达！这也正是物理学的魅力表现之一。