http://s16/mw690/002yGVmogy6Lu9lj56v3f&690点到直线的距离公式" TITLE="3.3.3 点到直线的距离公式" />

http://s2/mw690/002yGVmogy6Lu9lG9fbb1&690点到直线的距离公式" TITLE="3.3.3 点到直线的距离公式" />

http://s14/mw690/002yGVmogy6Lu9mcLmdfd&690点到直线的距离公式" TITLE="3.3.3 点到直线的距离公式" />

《点到直线的距离》教学案例

    浙江省洞二中（325701）   陈展

设计理念与思路：

让学生掌握知识的同时，重点形成一种提出问题解决问题的能力以及学习数学的兴趣；学会发散性思考问题。总之，能力是主要的，知识是次要的。

教材与概念结构分析：

解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。

学情分析:

我们学校的学生思维能力不高,但思维较活跃,有个性,经过长期的训练后,能养成一种比较好的思维习惯与做人的态度。

教学目标：

知识目标：让学生掌握点线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。

    能力目标：培养学生从特殊到一般的分析解决问题能力。提高学生使用现代化工具的动手能力。

    情感目标：让学生充分感受数学的美；增加对解几的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。

重点难点：

教学重点：公式的推导与应用。

教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。

情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。以激发学生的创造力。增强学生知难而进的决心。

教学资源：多煤体教室。

教学流程图：复习——提出问题——寻找解决方案——尝试——解决问题——形成结论——应用结论——提出新问题。

教学过程：

一、课题引入，提出问题

师：直线方程的一般式是怎么样的，其中的系数有什么要求的？

生：是Ax+By+C=0  (A、B不同时为0）

师：两点A（x,y）、B(x,y)间的距离公式是什么？

生：|AB|=　　　　y

师：当直线AB垂直y轴或x轴时，

公式又成什么样子的？

生：|AB|=|x-x|或|y-y|                                            

师：点Q在直线Ax+By+C=0

上,点P在直线外,则什么时候它们最近。     O                  x

生：当直线PC与直线Ax+By+C=0

垂直时。

师；这是|PQ|就是点P到直线

Ax+By+C=0的距离，它会等于什么呢？

这就是现在我们要究研的问题。（板书课题）

二、课题解决，形成理念

师：如何求点P(3,5)到直线L：y=2的距离？

生：可化为两点间的距离。

师：是哪两点？

生：过点P作垂直L的直线，它交L于Q，则求PQ的距离。

师：Q的坐标有什么特点？

生：它的横坐标与P的一样，纵坐标是2。且在教师的引导下利用公式|AB|=|x-x||或|y-y|计算。

师：变为求点P(3,5)到直线L：x=2的距离？如何求？

（学生思考一会儿）教师再引导学生同理来求，并归纳：己知P（x,y），当直线平行x轴时，为d=|y-y|;当直线平行y轴时，为d=|x-x|。

师：那么一般情况下，己知P（x,y）与直线L，你们想到用什么方案解决这个问题呢？

生：先求过点P且垂直L的直线；

再求两直线交点Q的坐标；

最后用两点间的距离公式求|PQ|。      y                             

 师：垂直L的直线的斜率是多少？            P

它方程用什么形式？

生：直线的斜率是，它的方程是                Q

y-y=(x-x)                       O                   x

师：怎么求点Q的坐标？

生：由这两条直线方程联立方程组来解。

师：这种方法好吗？

(生沉思,感叹：难算。)

师：所以，我们还要寻找其它的简便的方法。我们用一个特殊点（0，0）来代

P（x,y）来思考一下，有没有其它的好方法。

生：用面积法求|PQ|。

师：若直线交两坐标分别于R、S两点，则有什么关系式存在？

生：|OR||OS|=|SR||OQ|

师：哪些可以求出来？

生：点S、P可以算出，再算|OR|、|OS|、|SR|，从而算出|OQ|。

师：还有其它方法吗？

生：RtD相似法。

师：哪两个三角形相似？

生：DOSR与DQOP

师：其中有什么关系？

生：，知道其中三个可以求出|OQ|。

师：还有其它方法吗？

生：解直角三角形。

师：要先求出哪些量？

生：|OR|，与。                            y             l 

师：|OQ|与它们有什么关系？

生：|OQ|=|OR|sin                   

师：与直线的倾斜角a什么关系？       O         R              x

生：相等。                                         Q

师：一定吗？如果直线不是这样放的？

生：或有互补关系。                           S

师：所以sin与sina什么关系？

生：相等。

师：sina怎么算？

生：可以由tana=k算。

师：具体怎么算，先算什么？

生：由seca=得cosa,再由sina= cosa tana算出sina就行了。

并讨论哪种方法与高中知识联系最紧密，并有代表性。

生：利用直角三角形的边角关系来计算。                              

师：下面就考虑一般情况，先求什么？

 

生：求|PM|，

                                                  

师：∠P与倾斜角a有什么的关系？   

                                     

                                                                  

生：∠P = a 或 p－ a。             

                    P       l

师：然后解Rt△PMQ，求|PQ|，如何求？                                                             

生：|PQ|=|PM|sin∠P,得 PQ|=|PM|sin a ,                       Q                  

sin a可由tana=k=-算出.                O      M     a         x

（师生一起演算）得出                                                      

                                             

                                                        

归纳：点P（x,y）到直线Ax+By+C=0的距离为d=

三、公式应用，简单模仿

师：上面的公式有什么范围限制吗?

生：无论点和直线的位置如何，点线距离公式都是适用的。

师：做以下的练习

1. 平面内一点A到一条直线L的距离公式的使用范围是（ ）

    A 对坐标平面内任意点与直线都适用

    B 当直线过原点时不适用

    C 当直线的斜率不存在时不适用

    D 当点A在直线L上时不适用

2. 点A(-3,2)到直线L:y=-3的距离为______.

3. 点B(-1,2)到直线L:3x=2的距离为______.

4. 点B(5,-4)到两坐标轴的距离和为______.

5. 直线x=-1与直线x=7间的距离是_______.

6. 若B(3,m)到直线L:y=5的距离大于2，求m的取值范围。

（以上的题目可学生口答,教师简要分析。）

师：在什么条件下，用什么公式？

生：己知P（x,y），当直线平行x轴时，为d=|y-y|;当直线平行y轴时，为d=|x-x|。

师：第5题中可取怎样的两点？

生：与x轴的两个交点。

四、活用公式，理解本质

7.求点P(-1,2)到直线L:x/5+y/10=1的距离。

8.已知点(a, 6)到直线 4x-3y-3=0的距离为28/5，求a的值。

9.已知点A(1,0)到直线x/m+y=1的距离为1/2，求m的值。

学生上来板书，教师再叫其它同学来评价。

师：用到什么公式？

生：d=

注：一般式；A、B化整求其它末知量。针对每个题目教师叫学生说清哪个是A哪个是B。

五、数形结合，提高能力

10. x轴上任意一点(a,0)到一三象限角平分线的距离是_________.

师：一三象限角平分线上点的坐标有什么特点？它的方程为什么？

生：它的点的横纵坐标相等，方程是y=x。

11. 求过原点且与点(-2,5)的距离为2的直线方程。

师；这样的直线有几条？

生；两条。

师：它们都有斜率吗?当它斜率不存在时行吗?

生(思考)：行。

师：斜率存在时，怎么求呢？

生：设为点斜式，利用距离来求它，再写出方程。

注：有几个题来不及做，让学生带回家思考。

六、小结内容，形成体系：

师：我们学了几种推导点线距离的方法?

生：二种求点线距离的方法。   

师：哪几种求点线距离的方式?

生：①|坐标差|②解RtD③距离公式.

师：思考新的问题——两直线间的距离公式为什么？怎么求？

七、作业：1.课本第45页第12、13题。

          2.补充题：已知DABC的顶点A(4,0)、B(6,7)、C(0,3)，求这个三角形的面积。

学习评价方法：

提问法、问卷法、测试法、个别学生谈心法，用这些方法了解学生掌握知识，形成能力的情况。