估算教学：价值、策略及评价

一、问题的提出 。

案例1“尴尬”的估算

背景：学生已经有了一定的估算基础，在具体情境中让学生用估算解    决问题时，出现了以下两种情况。

情景一：某校期末考试卷上有这样一道估算题：每个足球78元，要买2个足球，请你估计150元够吗？

      阅卷时发现，学生几乎全是用精算算出结果的，即78X2=156元，156>150，所以不够。

     学生这样解答算不算对？给不给分？

     对此，教师的意见不一，有人认为，虽然学生采用了精确计算的方法，只要结果正确的，就应该给予肯定；也有人认为，学生没有认真审题，不能给分。

情景二

（1）课上通过一个实际问题引入估算。

（2）教师抽象地谈在一个算式中，每个数可以怎么进行估计。

——“388”可以怎么估？（380，390，400，300）

——在388+120，388+110中，你打算分别怎样估“388”才能作到不仅计算速度快，而且与实际结果相差最小？

生1：388+110中，388估计成390，因为10+90=100，结果凑成整百。

师：用这个方法计算的结果是不是最接近实际结果？

生1：是，因为390离388最近。

生2：用四舍五入法。

（教师再次强调题目要求：又快又与实际结果相差最小。）

生3：388+120，388估成380最方便，因为相加为整百数。

师：用这种方法计算的结果不是离实际结果最近。388可以估成390。

（3）最后解决一个实际问题：一班学生238人，二班学生158人，399个座位够吗？

学生分6个小组进行讨论后，有5个小组用了前面所强调的“不仅计算速度快，而且与实际结果相差最小”的思路，将238估计为240，158估计为160，240+160=400，所以399个座位不够；有1个小组进行了精确计算发现399个座位够。面对学生不同的答案教师说道：“确实，有些问题是不能用估算解决的，必须进行精确计算。”

学生在上完课后，对教师说：“好像只有在您的课堂中才用到估算。”教师陷入了尴尬中。

对此，部分教师认为：（1）教师面向全体强调“好”的估算标准。这拔高要求了。（2）习题的设计欠妥，学生感受不到估算的价值。

由以上案例，可以引出以下几个问题：

（1） 在实际教学中，学生常常习惯于精确计算，而不愿意进行估算，学生为什么会缺乏估算意识？

（2）估算的价值体现在哪些方面？如何培养学生的估算意识？

（3）在情景二中，教师一直强调“好”的估算标准是“不仅计算速度快，而且与实际结果相差最小”，这个标准是否合理？估算是否有统一标准？

下面，我们就来讨论这几个问题。

二、估算到底有什么价值？

估算到底有什么价值？这也许是许多教师在教学当中不断遭遇的困惑。如果教师都不能深刻地体会到，那么可想而知教学如何能到位。在此我们做一个简单的描述。

1、  估算在日常生活中有着广泛的应用。

估算是对运算过程和运算结果进行粗略估计的一种能力。在现实生活中，很多事实际上不可能也不需要都进行准确计算，曾经有一个学者做过一个统计，将一个人在日常生活当中精确计算的机会和粗略计算的机会进行比较发现，后者多得多。例如，我们家庭都要计划收入和支出，这就需要估计；一个商场，它的营业额是多少，它的利润如何，要进行大致的预测，这也是估计；再比如，现在大城市流动人口很多，到底流动人口是多少，我们在做统计时也要做一些估计。由此可见，在生活中离不开估算。因此，估算作为数学教学方面的一个新内容提出来，是有道理的。

2、  估算作为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据。

估算为判断计算器计算得是否准确，包括孩子们口算、笔算的结果是否合理，提供了重要的依据。小学生开始使用计算器，算出来的结果一般都是准确的，但有时候由于操作失误也可能会出现问题，如果学生有了估算的意识和能力，就能很快发现计算器计算的结果其取值范围是否合理。过去我们要用加减法的互逆关系和乘除法的互逆关系来验算，现在用估算的方法就可以解决了，这也是估算的重要应用。

3、  估算有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要途径。

4、  估算对学生后续的数学学习有重要作用。

三、估算教学该如何进行？

1、  培养估算意识。

2、  形成估算策略。

四、如何评价估算？

关于估算的评价，我们先来看一个案例。

TIMSS测试

TIMSS（为“国际数学和科学评测趋势”的缩写）测试是由国际教育成就评价协会发起和组织的国际教育评价研究和评测活动，也是有史以来最大、最全面、最严格的国际比较研究项目。曾于1995年、1999年、2003年做过3次测试。这3次测试是当代青少年数学教育和科学教育的重要的国际比较研究，对我国的数学教育和科学教育有一定的启发和借鉴意义。

在测试中，也有考查学生估算能力的题目，下面是其中的一些：

1、  史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大约是多少升？

A、30000    B240000   C、300000   D、2400000   E、3000000

        2、约翰想在磁带上录5首歌，每首歌所用的时间如下表

         

 

歌	1	2	3	4	5
时间	2分41秒	3分10秒	2分51秒	3分	3分32秒

  

             估计一下他录完这5首歌需要多少时间，并解释你的结果。

            （正确答案：1、将每段时间正确地按分钟取整。如：3+3+3+3+3或3+3+3+3+4；

2、  将每段时间正确地近似到5秒，10秒，15秒或30秒，然后相加；3没有显示计算过程，但有类似于“四舍五入”或“化为整分数”的表述；4、将各段时间都按3分钟相加，然后用15分钟加上14秒；5、其他合理的答案。错误答案：1、每段时间都进行四舍五入，但其中出现了一些错误；2、将13分134秒改写成14分34秒；3、其他错误答案。）

3、保罗用5元去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示：牛奶 1、50元    鸡蛋1、29元   面包1、44元

   在下列哪种情况下使用估算比精算有意义？

A当保罗试图确认5元是否够用时；

B当售货员将每种食品的价钱输入收银机时；

C当保罗被告知应付多少钱时；

D当售货员数保罗所付的费用时。

这些题目究竟能给我们什么重要启示呢？

在估算或估测过程中，由于每个同学都有自己的想法，面对同一问题所采用的策略不尽相同，因而估算结果往往不是唯一的，是不是估算的值离精确值越接近越好呢？如何评价估算？上述第2题的评价标准是很宽松的，只要学生的想法合理就可以了，这与我们平时对于估算的评价有些不同、我们对于估算结果的接受范围过窄。

保罗购物的题目更是让人耳目一新。我们平常见到的估算题目模式比较单一，大多都是估一估价钱够不够，而这道题目的问法却是“在下列哪种情况下使用估算比精算有意义”。这样的提法使我们很受启发。这样的问题可以测量出学生的估算意识和估算能力。

那么我们在实际教学中该如何对估算进行评价呢？

首先把估算分为两种：一种是根据实际问题进行的估算；一种是脱离实际问题的情景、纯算式的估算。

1、根据实际问题选择合理的估算策略，结果合理方为正确。也就是说，学生只要能够解决实际问题，那这个估算结果就应该是合理的。

2、纯算式的估算，结果落在区间内方为正确；但要根据不同年龄学生的认知水平，给予有针对性的评价。有些题目，脱离了实际问题情景，属于纯算式的估算，在这种情况下，我们提出：不能简单地把估算结果是否与精确值最接近作为唯一的标准，只要落在区间内，就视为是合理的。这个区间也就是它的取值范围。

同时，对不同年龄的学生要有不同的评价标准。如低年级学生刚刚接触估算，它的估算结果落在区间内，但是范围比较大，我们觉得也是可以的。高年级的学生已经有了一定的估算经验，就要引导他们不断地进行反思、调整，使估算的结果能落在更合理的位置上。举个例子来说：78X365的结果大约是多少，刚开始学习的时候，学生可能这样估：70X300，80X300或者80X400，我们都可以视其为合理的。等有了一定的计算技能以后，老师要引导学生不断地进行反思，例如，可以估成80X350，这时候的范围就比原来要小多了。

另外，从命题的角度来看，能不能让题目更适合学生用估算的方法来解答？这样有利于学生估算意识的培养，提升估算策略的选择能力。

3、只要估算结果落在合适的数量级中，视为合理。如上述TIMSS测试的第一题，就是在考查学生的数量级概念掌握情况。只要学生的估算结果落在合适的数量级中就可以视为合理。

            总之，关于评价的问题还有待于进一步研究。但我们认为，学生们估算的策略不同，只要是合理的，就应当鼓励他们大胆地尝试哦，积极解释自己的观点。在这个过程当中，肯定会有很多有价值的东西涌现出来，教师要小心翼翼地去呵护这种探究精神，不要轻易地用一两句话否定一种方法，而应给他们一种宽松的氛围，让他们不断地学会调整，学会反思，提升判断能力。教师要不断地站在学生的角度去思考、挖掘这些方法的思维价值，利用这种近似的意识来发展学生的数学思维。