关键词 ： 数学应用意识   数学应用能力 

             数学化思维   建模 

一、问题的提出

近年来，随着社会的进步与发展，数学应用与科学、技术、生产、生活实践结合越来越紧密，主要表现在：一是数学教育界无不把数学应用提到一个相当的高度，并且运用数学解决实际问题的研究也取得成果丰硕；二是实践对数学运用的要求越来突出显著，如何运用数学知识解决生活，生产中遇到的实际问题成为实践中亟待解决的问题，也成为数学教育亟待研究的问题！

中华人民共和国教育部制定的《普通高中数学课题标准（实验）》（人民教育出版社。2003年，以下简称为《标准》）中将“发展学生的数学应用意识”[1]作为课程研究的重要内容。随着新课改的开展和落实，课改素质教育全方位、深层次、多角度推进，数学教育对学生的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力提出更高要求。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了，但是如何更好落实教学内容，如何培养学生数学应用的意识成为高中数学教学存在的突出问题。在高中数学教学中，如何选择正确的教学案例，选择何种类型案例都需要教师对应用数学教育的教学目的有着清醒认识，对生活、生产实践的要求有着深入了解。在教学中我们有意识地运用合理数学模型思想帮助解决学习、生活中所关注的实践问题，才会帮助学生摆脱原有传统数学思维束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，在以后的学习生活不自觉的采用数学建模的思维应对问题。故此，本课题围绕“培养高中生应用数学解决实际问题的研究”展开了工作。以下是课题前期对该问题研究结果简单讨论：

（一）对于数学应用意识的界定

谈及数学应用意识，我们不得先界定一下应用数学。应用数学（Applied Mathematics）是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学知识到其它范畴（尤其是科学）的数学分支，可以说是纯数学的相反。涉及向量分析、数值方法、概率论、组合数学等许多数学分支和各种应用领域中提出的数学问题的研究。而数学应用意识则是在对其他学科研究的过程中，在解决各种应用领域的生活实践问题中逐渐培养起来的。而本课题所讲的数学应用意识主要涉及高中数学教育教学领域，属于对数学应用意识的培养阶段，但仍旧可分为两个方面：一是数学内部运用，即运用已有数学知识、思想解决新的数学教学问题；二是数学对生产、生活实践的讨论，即通过数学建模方法解决实际问题。“数学应用意识是应用数学知识、思想方法的心理倾向性，它是基于对教学的广泛特点和应用价值的认识”[2]即在遭遇生产、生活难题时，会不自觉地运用数学思维，采取数学方法研究实际问题，主要包括两点：一是面对新的数学知识或者研究成果，能够自主探寻它的实用功效；二是能够主动用数学的眼光去看待客观情况。

（二）关于国内外数学应用研究发展成果的简述

首先我们对应用数学领域大事进行部分列举：

（1）1913年，完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。在量子力学和基本粒子理论中有重要应用（法国厄.加当，德国韦耳）

（2）1919年，建立P-adic数论，在代数数论和代数几何中有重要应用（德国亨赛尔）

（3）1942年，开始研究随机过程的预测，滤过理论及其在火炮自动控制上的应用，由此产生了“统计动力学”（美国诺.维纳，苏联柯尔莫哥洛夫）。

（4）1944年，建立了对策论，即博弈论（美籍匈牙利人冯.诺伊曼等）

（5）1951年，五十年代以来，“组合数学”获得迅速发展，并应用于试验设计、规划理论、网络理论、信息编码等（美国埃.霍夫曼、马.霍尔等）。

（6）1958年，创立算法语言ALGOL（58），后经改进又提出（ALGOL）（60），ALGOL（68）等算法语言，用于电子计算机程序自动化（欧洲GAMM小组，美国ACM小组）。1958年，中国普遍地使用和改进“线性规划”法。1958年，中国科学院计算机技术研究所试制成功中国第一架通用电子计算机。

（7）1960年，提出数字滤波理论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用（美国卡尔门）。1960年，建立非自共轭算子的系统理论（苏联克雷因，美国顿弗特）。

由此可见，应用数学在科技，生产生活中的扮演着何其重要的角色。由此我们更加得出一个结论：对于高中生的应用数学意识和能力的培养对于社会人才培养至关重要，尤其可以完成数学教育向公民素质培养的转变。其实早在1993年严士健、张奠宙教授便对教学中数学应用意识和能力培养予以重视，率先提出把数学应用知识纳入高考考试范围，并在北京、上海等地举行数学应用知识竞赛，推动应用数学的发展；九十年代中期，中科院数学物理学部撰文《今日数学及应用》（王梓坤执笔）对数学应用意识和能力的培养作出了呼吁。

（三）本课题研究理论基础

    1.构建主义的“同化”与“顺应”

构建主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，对外部信息主动的选择、加工和处理，从而获得自己意义的知识。 它包括“同化”和“顺应”两个方面。同化是指把外部环境中的有关信息吸收进来并结合到知识获取者已有的认知结构（也称“图式”）中，即个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程；顺应是指外部环境发生变化，而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的知识获取者认知结构发生重组与改造的过程，即个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程。所以如何在同化过程中培养学生数学应用的意识和在顺应过程中转化学生固有思维成为本课题研究的重点。无疑构建主义是本课题的理论支点。

 

    2.数学化理论

荷兰教育学家和数学家弗赖登塔尔曾经说过：“数学要源于现实，扎根于现实。”他认为：数学是关于客观世界数学化的过程，而非简单地理论数字理论集结。数学理论与生活实践是根与叶，水与源的关系，脱离数学赖以存在的客观环境，数学教育不仅会乏味无趣，而且会形同虚设，成为脱离实践的无用之学。而焕发数学生机的症结所在是把生活问题数学化，保持数学的应用性。数学化过程不仅要求课堂教学内容数学化，而且要培养学生数学化思维，使其在生活中能自主自觉的把握数学化的机会。正如他谈到：“学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”[3]

数学化——人们用数学方法观察客观世界，分析研究各种客观现象，并加以管理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化；简单说数学地组织现实世界的过程就是数学化。[4]

数学教育最大的问题就是用处与目的之间的分歧，数学教育着如何能够突破传统灌输式、教条式教法对于学生的数学应用能力的培养至关重要。所以教学者就必须要经常而且善于用数学学科思维在生活中发现问题，探索问题，并抽象为数学模型，把它作为广泛的教学案例。其实这其中蕴含着两方面要求：一是用数学眼光发现问题；而是用数学方法解决问题。正如弗赖登塔尔在《数学教育再探》中谈到：“通过数学化过程产生的数学是通过教学过程产生的教学反映出来的。请注意，预想中的平行性甚至会扩展为有区别的横向与纵向两种教学过程：由教学的实践开始，扩展为两方面：一方面是对这种实践逐渐有所了解，另一方面是将它作为范例。”[5]

 

    3.“生活教育”理论

 

伟大的教育家陶行知先生指出：“生活即教育”、“教学做合一”、“生活而教育”。他认为，教育起源于生活，生活是教育的中心，就是倡导每一个孩子都公平地享受为生活作准备的教育，教育要培养能适应社会生活的人，这就是教育的根本目的。

而本课题研究的重点就是要培养学生运用课本知识解决生活中世纪问题的能力。力图让学生在学习到知识的同时，也能间接收获生活经验，用数学思维和方法应对以后的生活难题。

二、前期调研

本研究课题主要采取调查问卷、课堂听课、举行专题等形式开展调查工作。涉众对象为紫阳县毛坝中学高中部全体学生。本次调研包括两个方面：一是对高中生数学应用现状的调查；二是对于高中生数学应用意识和能力的调查。

（一）对高中生数学应用现状的调查和分析

    1.对高中生数学应用现状的调查

    其中，本次课题共分发800份调查问卷，实际有效调查问卷为782份，涉众对象为紫阳县毛坝中学高中部全体学生，参与调查问卷的工作是由我们课题小组和我的学生共同完成的。

表1 你喜欢数学的主要原因

选项	应试	数学用途广	兴趣爱好	数学老师好	其他
高一	68	93	79	43	63
高二	92	102	43	58	15
高三	41	17	21	31	16
合计	201	212	143	132	94
所占比例	25.70%	27.11%	18.29%	16.88%	12.02%

     在问卷1“你喜欢数学的主要原因”中，从数据可以看出学生学习数学的主要原因中选择“数学用途广”和“应试”的较多，而“纯粹的兴趣爱好的”相对较少。数据说明，毛坝中学学生喜欢数学的主要原因是“其用途广”和“为了应试”，其实要学好数学，关键是要培养学生的数学兴趣和爱好，只有这样，学生才能自觉、主动的去学习，因此，今后该校的数学老师们还要加强学生学习数学兴趣的培养。

表2 你认为数学学习的目的何在

选项	培养思维	生活运用	应付考试	没有思考过	其他
高一	164	58	84	22	18
高二	169	75	53	6	7
高三	77	13	27	1	8
合计	410	146	164	29	33
所占比例	52.43%	18.67%	21.10%	3.71%	4.22%

问卷2“ 你认为数学学习的目的何在”中，从数据可以看出，有超过一半的学生认为学习数学的目的是为了培养思维，以应付考试为目的的其次占了五分之一多一点，以生活运用为目的的占第三位，不足五分之一。数据说明，毛坝中学只有少部分学生认为学习数学的目的是“运用于解决生活中的问题”，其实数学来源于生活，学习的目的就是为的运用于生活，因此这数学数学的目的上，老师们还要多注意培养学生的学习数学的正确目的。

表3 你是否经常用数学知识解决实际问题

选项	经常	有时	很少	几乎没有	其他
高一	16	151	149	28	2
高二	49	123	105	30	3
高三	5	56	58	4	3
合计	70	330	312	62	8
所占比例	8.95%	42.20%	39.90%	7.93%	1.02%

    问卷3“你是否经常用数学知识解决实际问题”中，从数据可以看出，有将近一半的学生有时会用数学知识解决实际问题，近五分之二的学生很少用数学知识解决实际问题，经常用数学知识解决实际问题的学生不足十分之一。数据说明，毛坝中学的学生会主动用数学知识解决实际问题的学生不多，这方面今后有待加强。

    2.对高中生数学应用现状调查的结果分析

根据表1、表2、表3的调查结果，结合对《标准》的精神领会，可以得出以下几点认识：（1）一是随着年级的增加，学生被动学习，被动灌输的现象越来越明显，这与学生当前应试教育的压力密切相关。很多学生在高一尚且对数学充满了热情和兴趣，并且会主动探寻数学奥秘，寻求数学与实践的契合点；但是随着年级的增加，学生却反而对数学的学习目的发生了很大的变化，更加趋向于应试。单纯的追求高分成绩无疑是由传统应试教育的模式化不散，行政对教学目的干预不减而致。“减负不减”的现象日趋严重，学生又如何能够把数学知识运用到生活实践当中呢？（2）高中学生运用数学知识解决实际问题的意识淡薄，能力不足。绝大数同学偶尔用或者很少用，这完全背离了《标准》对高中数学教学的培养计划。学生单纯追求成绩的现象广泛存在，归根究底还是应试教育作祟，而新课改的目标没有落实，教学目标绑架了教学目的，数学学习价值偏离的教育本位，学生自然不能得到数学应用思维和能力的锻炼。

（二）对高中生数学应用意识和能力调查

    1.对高中生数学应用意识和能力的调查

本次问卷调查时间是2013年11月2日，统计时间为11月4日----11日。由于受到高一学生知识的限制和高三学生时间紧张的限制，因此我们在高二年级六个班采用了随机抽样的方式，即：对单数班级采用单学号学生参与调查，对偶数班级采用偶数学号学生填写的形式，共计对136名学生进行了问卷调查。具体统计数据如下所示：

班级	高二(1)	高二(2)	高二(3)	高二(4)	高二(5)	高二(6)	合计
份数	23	25	17	21	31	19	136份

在本次调查问卷的发放过程中，我们还附带了几个相关问题，并对有效的136份问卷作了统计，下面就对问卷中的两个问题的主要回答予以展示：

（1）问题一：你认为通过对于数学的学习，它可以对你以后的生活带来哪些帮助？请简要谈谈你的想法                                                               

主要答案如下：

①　我认为通过数学的学习可以应对现在以及将来生活中遇到的计算问题，比如经营商店、投资理财等。

②　我认为通过数学的学习，我认为“加减乘除”等基础知识对以后有用，其他的知识很少甚至根本排不上用场。

③　我认为数学的学习重在培养我们敏捷的思维，特别是理性、逻辑思维。

④　我认为数学对于解决生活上很多问题都有帮助，只是具体运用还有难度。

（2）问题二：当你到有10万元钱，在三年内属于闲置资金，现在有两种选择：一是存入银行（活期或定期），二是办一家小商店，你会选择数学建模方法还是询问他人，凭借经验呢？                                                                 

                                                                               

主要答案如下：

①　当然是询问他人了，我对这类投资理财，复利问题学的很差。

②　还是问他人比较妥当一些，自己不经没有什么经验。

③　我觉得吧，通过数学建模才可以得出精确的答案，更为可取一些。

④　对于这个问题，我没有想过，可能是两方面都有吧，只是要算准确，没有遗漏还是有难度的。

    2.对高中生数学应用意识和能力调查的结果分析

以下我们将对三个问题做一个简要的分析。从第一个问题的回答我们可以看出：学生对

于数学的重要性还是有所认识的，但是同学们对于数学的用途认识不足。他们认为数学就是用来计算的，也有同学认为用数学解决实际问题存在很大难度；由第二个问题的答案我们可以看出：部分同学也认识到了数学的重要性，但是要么他们认为数学建模比较难，要么认为没必要，可以寻求他人意见，简单快捷；但是对比第二个问题，我们不难发现，它更加贴近同学们的生活，是同学们在实际生活中的总结，也是尝试用数学思想对简单生活问题进行解答。而对于投资理财比较难的生活问题，学生却缺乏这种思想，看来加强对这些生活问题的教学引入是相当重要的。

三、数学应用意识和能力在教学中的培养研究

（一）从生活实践到课堂教学

高中数学应用意识和能力的培养及其重要，其突破点就在于数学教学模式的转化。生活实例数学化，模型化是激发学生运用数学知识解决实际问题的最好途径。这不仅能够使学生勇于发现问题、分析问题、解决问题的能力，还能激发学生对于数学学科的爱好。下面我就生活中常见的几个问题尝试着进行讨论：

案例一 思维引导

现如今，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“家家福”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，大致内容为：顾客购买茶、壶茶杯有两种优惠选择，一是卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；二是打九折（即按购买总价的90% 付款）。并附有前提条件，即购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。面对这种情况，我很快利用数学方法作出了选择，那么同学们，你们认为怎样解决这类问题呢？

具有数学思维的人，很快就能找到突破口，即用函数知识知识分类讨论解决此类问题。但是对于初学函数，或者对于分类讨论思想、函数思想欠缺的同学来说，还是有着一定障碍的，这时候就需要老师加以引导。经过引导引入函数知识予以解决，解答过程如下：

 

    解：设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则用第一种方法需付款=4×20+(x-4)×5=5x+60;

     用第二种方法付款=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.

    接着比较、的相对大小.

    设d=-=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.

    然后便要进行讨论：

    当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;

    当d=0时，x=24;

    当d<0时，x<24.

    综上所述，当所购茶杯多于24只时，第一种方法更省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，第二种方法更便宜。

 

对于这个解答过程，猛打眼一看，觉得合情合理，有理有据。但是我们如果仔细审题，我们不难发现：在整个解题过程中，我们不仅有所遗漏可能性，而且遗漏了无数种可能性，即我们这种解题过程有一个大前提假设，即假设购买茶壶最少（4只）。既然如此，我们只能设两个未知数在展开讨论了。解题过程如下：

 

    解：设某顾客买茶壶m只，茶杯n只，付款Y元，(m>3,n>3且m,n∈N)，则

    用第一种方法付款Y1=20m+(n-m)×5=15m+5n

    用第二种方法付款Y2=（20m+5n)×90%=18m+4.5n

    接着比较Y1，Y2的大小，设D=Y1-Y2=0.5n-3m,（对于涉及两个未知数的关系式的比较，只能借助线性规划知识解决了，老师引导）

 

               N         m =3

 

 

 

                                            n=3

                 O                          m

                        

 

通过数形结合，我们发现，同时设有两个未知数，而在两个未知数之间并没有明确可以沟通的等量关系，所以用这种方法是解答不出来的，最终我们可以得出一个结论：生活问题要具体问题具体分析，即只有把数学置于特定情景之下，才能利用数学知识进行讨论。老师引导，对于本题总结一下几点：

    1.本案例第一次假设，把购买茶壶限定为4只；本案例第二次解答中，把购买茶壶茶杯都限定为3只以上；本次第二次解答中我们可以发现潜意识下我们认为购买的茶杯要比茶壶多（从m-n可以看出）。

    2.对于这类问题我们应该利用函数问题和分类讨论思想进行解决，但是设定未知数时一定要注意未知数的设定范围，否则就会陷入（1）中的三个甚至更多的误区。设立未知数，范围是根本。

     3.线性规划必须要有明确规划范围才行，否则就不能得到所求最大值或最小值；线性规划还通常还要具备未知量之间的等量关系才行。

     4.数学的应用是在实际生活中的应用，是与具体生活情景分不开的。如在本题中，顾客购买茶壶、茶杯应该有明确的数量或者一定范围的数量，他们不可能无限制购买，也不可能仅供个人使用而购买一千只茶壶。

    案例启示

    在数学教学中，我们应该突破原有的教条式教学思维和方法，不能为了解题而解题，不能为了答案而做题，只有通过案例折射出在解答同类问题中应该避免的地方，渗透出解题需要运用的解题方法，同时应该教授学生在解答同类问题应该注重的解题思路。换句话说，对于学生具有深刻的启示意义。

 

    案例二  生活实例

    火车站的钟楼上装有一电子报时钟,在钟面的边界上,每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯,晚上9:35:20时,时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯? 

    解:由题意可知,钟面上共装有60只小彩灯,时钟两只彩灯所夹的角是6度。每走一分钟,分针转过的角度是6度,时针转过的角度是0.5度,晚上9:30分,时针与分针所夹的角度为105度,此角内部有17只彩灯,再过五分二十秒,分钟转动的越过的彩灯有5只,时钟转动尚未越过一只彩灯,于是角α内共有17－5=12只小彩灯。

 

    案例三    数学建模[6] 

    你正在为你父母的投资选择充当顾问,你的父母早就想改善住房条件,5年前在银行开设5年期零存整取账户,坚持每月在工资发放当天存入现金1000元,从没间断,今年刚好到期。最近,你的父母看中一套价值20万元的房子,决定从银行取出这笔存款,不足部分再向银行申请按揭贷款,我们一起研究你的父母还需要向银行贷多少款? 你父母向银行申请为期10年的贷款13万元,结果只批准贷款10万元,请你解释这是为什么？

1.收集材料。调查银行住房存贷款类型、(整存整取,零存整取等)年利率、利息计算形式(单息,复息)。

2.问题分析。题中所要解决的问题:父母存款额,需贷款额,父母的偿还能力。

    3.模型假设:银行存贷款利率不随物价波动即为常数。

    4.模型建立与求解: 

    (1)父母现在共有存款多少?还需贷款多少? 

    解：在上述简化假设下,父母五年存入5×12×1000=60000(元),每笔款子由于存期不同所得本利和不同,按单利计算,当年五年期零存整取的月利率为8/1000,每期为一个月,1000元每期的利息为1000×8/1000=8(元),设按本金存入顺序本利和依次为a1,a2,...a60，则有:

    a1=1000+60×8,a2=1000+59×8,a3=1000+48×8,.....，a60=1000+8

    故{an}为公差d=-8的等差数列, 实际问题就转化为求等差数列前n项和:

    S=n(a1+an)/2=60(1000+60*8+1000+8)/2=74640(元) 

    则有200000-74640=125360(元)  

    所以父母现有存款74640元,还需向银行贷款约13万元.

    (2)银行减少贷款数额,考虑什么因素?(偿还能力) 

(学生互相讨论)据统计,全家四口人每人每月的生活费400元,每年全家稳定收入3.7万元,月偿还能力=年净收入/12=(37000-400×4×12)/12=1483.33,父母申请按揭贷款13万元,每月应归还贷款为:(按歇贷款是每月等额归还本息的一种贷款种类。10年期贷款的月利率为4.65/1000,按复利计,从贷款日起,每过一个月还贷款一次,每次归还的金额相同,10年即120个月后本息全部还清。设每月还款额为x,每期还款后的金额为(i=1,2,...120)。贷款额p=13万,利率

r=4.65/1000 则:

    =p(1+r)-x, 

    =p(1+r)-x(1+r)-x, 

    ……

    =p(1+r)i-x(1+r)i…-x(1+r)-x,

    =p(1+r)120-x(1+r)119-x(1+r)118-…x(1+r)-x

    由于第120月贷款还清,所以a120=0(这是极关键的一步)。所以

    x[1+(1+r)+…+(1+r)119]=p(1+r)120 （转化成数学问题),

    则有x=p(1+r)120r(1+r)120-r。

    把p=130000,r=4.65/1000代入得x=1415.99, 1483.33-1415.99=67.34。 

    银行认为贷给13万元风险较大,而贷款10万元，月偿还：1415.99/13×10=1089.22(元)较符合实际。

 

    案例启示

上述数学建模着重考察了单复利、等差数列的知识点，这类问题也是学生在生活中经常面临但甚为困惑的问题。在整个建模的过程中，需要学生对相关概念、计算方法有着熟悉的掌握，这就要求学生对相关情况进行实地调研考察。这也是老师将数学知识与实际生活结合考察的经典案例，如果能够合理引导，对于学生数学应用意识的培养有着很大的裨益之处。

（二）数学化思维的培养

从之前的问卷调查结果，我们可以清醒地得出一个认识：应试教育模式致使学生远离数学教学目的，导致数学自主应用意识和能力的下降。但是要短时间改变一个教育模式谈何容易，不客观也不现实。既然如此，我们何不对高考趋势进行把握，寻求一种既能达到高考目的，又能培养学生数学应用能力的方法呢？所以对于教学者来说，采用何种教学方法，使用何种教学案例至关重要。数学之所以能够成为一门独立学科，自成体系，很大程度上是因为它有着独特的思维方法和思维过程。而对于数学化思维的培养，则需要在教学中刻意暗示和培养。2011年陕西文科数学曾经出过一道叙述并证明余弦定理。对于这个问题，诸多考生显得张皇失措，无处着手。原因很简单，在平常的教学中，学生只会重复的用固有思维在题海中苦思冥想，即把学生关注的是解题的过程而不是解题的思路和方法，所以见到这类新颖的题目，便找不到突破口。在日常生活中，自然也不会用数学的思维方法去思考现实问题了。

所以在以后的教学中，应该可以引导学生这种思维的培养。以下仍旧试举余弦定理高考题展开说明余弦定理的教学方法。

1.情景的创设，问题的引入。情景的创设宜采用身边的实例为宜，激发学生把生活问题转化为数学模型的能力。紫阳县毛坝中学正在进行校园扩建，而学校依山而建，自然会对坡度等问题进行精确测量。这无疑就会引进正余弦定理的情景设定。

2.动手实践，发现问题

对学生进行划分，分组调研。以组为单位实地采集数据，寻求解决方法。这一过程能够激发学生发现问题，用数学思维思考现实问题的能力，并且能够培养学生合作、探索的意识。

3.新课导入，分析证明

    首先对学生采集的数据模型化，例举已知量和未知量：

    数学模型

 

          B 

 

|AB|                   |BC|

 

A           |AC|        C

 

 

    数学已知量：  已知  |AB|  |BC|，角B, 求 |AC| 

老师引导思维过程：

（1）已知两边及一夹角，求第三遍。这是学生在以前的学习过程中尚未涉及的内容。所以必须用已有知识进行推导。

（2）很多学生会提出用正弦定理予以解决，但是通过分组讨论证明，这是不可取的。实际上教师可以思维引导学生否定学生用正弦证明的可能性。因为正弦解决的是三边等比例问题，那么我们至少要明确知道比例，或者推导出比例，而唯一已知角的对边正是要求的量。

（3）那么如何才能解决问题，换句话说，如何才能把三边联系起来呢？由已知两边推出第三边。我们通过知识回顾，会想到两种方法：

 

    方法一：向量法

    在三角形ABC当中，AB=c, BC=a,CA=b,

         A

                   

    c           b   

                      

B        a            C

 

    因为BC=AC - AB （引出等式关系）

    所以BC*BC=（AC-AB）*（AC-AB） （引入数量等式关系）

    所以BC²=AC²+AB²-2AC*AB

    所以a²=b²+c²-2bc*cosA

 

    同理，也可以引导出余弦定理的其他公式。

    方法二：坐标轴模型

     已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则

    则有

      ，

     即   

 

在这道题中，我们可以清楚的看到，老师重要的扮演思路引导的角色，如果只是简单地传授既有方法和知识，便很难培养学生主动解决问题的能力了。在11年高考中，余弦定理的证明成为重灾区，很多学生都没有解题思路，以至于简单的罗列了余弦定理公式，失去了宝贵的8分。究其原因，我们可以发现，根源还在于老师在教学中没有注重这种思维的培养和训练，如果在教学中老师直接引导或者间接传授学生知识点之间的连贯性，就不会只能见了这类题找不到突破口了。我们在换一个角度，如果这道题是通过生活情景的设定，来证明余弦定理，是否同样需要学生有着数学化思维，建立适当模型呢？

另外，高考有余弦定理证明这种新颖题型的出现，是否也在暗示以后的高考命题中是否也会着重考察知识的关联性，考察学生根据现实问题建立适当模型的能力呢？

（三）数学课题的实践

结合课题研究的具体情况，经过课题组的充分讨论，决定在高一、高二年级率先进行该课题的实践。实践发现，这种教学方式和教学案例的设计能够充分有效的引导学生参与课堂，吸收知识，提升了学生解题能力、数学应用能力。学生对于数学学科本身的兴趣和掌握程度有了较大的改观。本次课题实践的简要过程如下：

    （1）组织学生对中国一定手机上网套餐进行了研究讨论。通过建模得出了多种移动套餐选择方案。并在学校予以宣传普及，收效甚好。

 

对“毛坝中学学生移动电话使用情况调查问卷”的统计分析

由于紫阳县毛坝中学学生使用手机的人群大部分集中在高中部，而高二学生更具有代表性，因此，3月27日---28日，由我和许艳老师及高二5班的部分学生，发起了对我校高二年级的六个班级的240名有手机的同学进行了问卷调查。下发调查问卷260份，最终整理有效问卷240份，该年级在调查时，共有289人，其中使用手机的人数占83%，说明手机的普及率是很高的。调查的240人中，男生109人，占总数45.4%，女生131人占54.6%，说明高二年级使用手机的人群中，女生占了多数，比男生高出了9.2个百分点。在这240人中，其中农村学生为189人占78.75%，住校生为184人，占76.7%，由于该校是一个普通农村寄宿制学校，高中学生来自于全校各大乡镇，住校生所占比例非常大，在这一点上，此数据也印证了这一点。调查中，其中“使用中国移动网络的”为201人，占总数83.75%，“使用中国联通网络的”为16人，占总数的6.7%，“使用中国电信的”和“使用联通的”一样多，“混搭使用的”为14人，占5.8%。240名同学中，“每月平均手机消费在20元以内的”为27人，所占比例11.25%，“20---40元的”为106人，所占比例为44.17%，“40---60元的”为52人，所占比例为21.67%，“40---80元的”为20人，所占比例为12.1%，“80元以上的”为26人，所占比例为10.81%。将这些数据进行统计，240人的手机月平均花费为：(10*27+30*106+50*52+60*29+80*26)÷240=41.1元，结合地方经济收入的特点和实际情况，这个数据说明，该校高二年学生手机使用人群中，手机费用在学生的开销中，还是比较高的。其中上网套餐的使用情况如下：“20元以内”为81人，所占比例为33.75%，“20--30元”为83人，占34.58%，“30--50元”为55人，占22.92%，“50--70元”为12人，占5%，“70--90元”为3人，占1.25%，“90元以上”为6人，占3.75%，因此240人平均上网与消费为：（10*81+25*83+40*55+60*12+80*3+90*6）÷240=27.4元。我们还对学生手机使用的主要用途进行了统计调查，其中，“接听电话为主的”为135人，占56.25%，“上网查阅资料居多的”为53人，占22.08%，“接发短信居多的”为22人，占9.17%，“综合业务往来的”为46人，占19.17%。这些数据说明，在该校高二年级使用手机的学生群体中，大部分人还是主要用于电话的接打，其次就是作为资料的查阅。

我们对近期中国移动上网新推出的套餐业务也对学生进行了摸底调查，其中选择“e动卡18元套餐”的为50人，占20.83%，选择“e动卡28元套餐“的为91人，占37.92%，选择“e动卡38元套餐”为58人，占24.17%，选择“e动卡58元套餐”的为24人，占10%，选择“e动卡98元套餐”为1人，占0.4%，选择“不选用任何套餐，按照流量收费。”为3人占1.25%。这些数据说明，学生对流量套餐的选取主要还是集中在18、28和38元的套餐上。

另外我们还对学生进行了“你对中国移动还有其他什么建议和要求？”的问卷调查，绝大多数同学认为是：打电话的收费过高，上网流量费用也有待下调；另外还有一部分人认为在包月的话费和流量费用的使用规定上，如果在本月使用不完，能否在下个月继续使用。在统计学生使用移动卡的类型上，经统计绝大多数同学使用的都是“动感地带”。最后我们还对学生进行了“你对学校的手机使用管理规定有什么更好的建议？”的统计，主要有以下几种情况：一是，严格管理手机，尤其是上课时间，禁止学生玩手机；还有一部分学生认为，我校的《手机使用管理规定》没有落到实处，有些流于形式。二是，顺其自然，人性化管理；三是，学校能否提供手机充电的场地；四是，学校手机管理规定太严格，能否再人性化一些；五是，没有意见。其中没有意见的占大多数，“严格管理手机，尤其是上课时间，禁止学生玩手机”和“顺其自然，人性化管理”的所占比例相同。

通过学习对本次活动的参与，让学生亲自感受到了，数学对于商业用途、上级行政主管部门的决策，以及日常生活的指导具有非常大的作用，从而培养了学生的数学学习兴趣。

    （2）组织学生搞数学实践活动竞赛。

为了调动学生学习数学的兴趣，充分发挥学生的主观能动性，感受到数学与我们生活的联系，体会数学学科的重要性与实用性，5月15日，在毛坝中学八年级开展一次数学实践活动。200余人，共分为29个小组，邀请了8名学校数学教师和相关领导，作为评委出席了此次活动。活动取得了圆满成功。在我们的生活中，水龙头关闭不严会造成严重漏水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，从数学角度，考察了一次函数的应用问题。通过学生的实际动手和数学活动的实践，让学生体验数学解决实际问题的意识和方法，从而让学生真切的感受到加强节约用水的重要性。但是从学生的操作过程中，也暴露出了学生的很多弱点，如：平时实践操作少，实际动手和想象的有一定的差距，在做实验前，教师给学生详细地讲解过实验的过程和操作方法，但是还是有部分学生，操作不规范，步骤混乱，实验报告的撰写不符合实际情况。但是，这些情况也都在预料之中。不过所有学生在实验中，都表现出了极大的兴趣，就连平时不太认真的学生，也有兴致。因此，数学课上，穿插实验操作，会对学生数学兴趣的培养会有意想不到的效果。

 

参考文献

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