在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍；采样定理又称奈奎斯特定理。

为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。 　f s≥2f max

1924年奈奎斯特(Nyquist)推导出在理想低通信道的最高码元传输速率的公式。

1928年美国电信工程师H.奈奎斯特推出采样定理，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

在泛函分析中，卷积、叠积、摺积或旋积，是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“移动平均”的推广。

两个骰子加起来要等于4的概率

馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数

有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵

C4.5

一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

打脸-消肿函数

游戏-攻击掉血

存钱函数和复利计算函数

若f1(t)<-> F1(w)，f2(t)<-> F2(w)，F 表示傅立叶变换:

时域卷积定理:F[f1(t)*f2(t)]=F1(w)`F2(w)时域卷积定理表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积。

频域卷积定理:F[f1(t)`f2(t)]=1/2pi*F1(w)*F2(w)频域卷积定理表明两信号在时域的乘积对应于这两个信号傅立叶变换的卷积除以 2pi。

傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。实际上傅里叶变换就像化学分析，确定物质的基本成分；信号来自自然界，也可对其进行分析，确定其基本成分。

经傅里叶变换生成的函数f^ 称作原函数f 的傅里叶变换、亦称频谱。在许多情况下，傅里叶变换是可逆的，即可通过 f^ 得到其原函数 f。通常情况下， f 是实数函数，而 f^ 则是复数函数，用一个复数来表示振幅和相位。

在数学中，连续傅里叶变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线性算子。 不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。 在数学分析中，信号f(t)的傅里叶变换被认为是处在频域中的信号。 这一基本思想类似于其他傅里叶变换，如周期函数的傅里叶级数

DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x（t）均匀采样并截断以得到有限长的离散序列 {xn},对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x（t）频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。

FFT会通过把DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积来快速计算此类变换。因此，它能够将计算DFT的复杂度从只用DFT定义计算需要的O(n^{2})，降低到 O(n\log n)，其中n 为数据大小。

5.短时距傅里叶变换

短时距傅里叶变换是傅里叶变换的一种变形，用于决定随时间变化的信号局部部分的正弦频率和相位。实际上，计算短时傅里叶变换(STFT)的过程是将长时间信号分成数个较短的等长信号，然后再分别计算每个较短段的傅里叶变换。通常拿来描绘频域与时域上的变化，为时频分析中其中一个重要的工具。

6.离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。

在数学文献中，分数傅里叶变换(Fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier Transform)的广义化。

7.小波分析（英语：wavelet analysis）或小波变换（英语：wavelet transform）是指用有限长或快速衰减的、称为“母小波”（mother wavelet）的振荡波形来表示信号。该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。

8.小波变换分成两个大类：离散小波变换（DWT） 和连续小波变换（CWT）。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。

对于给定的时域信号y，可以通过Fourier变换得到频域信息Y。

采样信号的频谱是一个连续的频谱，不可能计算出所有的点的值，故采用离散Fourier变换(DFT)，

但计算效率很低，因为有大量的指数(等价于三角函数)运算，故实际中多采用快速Fourier变换(FFT)。

其原理即是将重复的三角函数算计的中间结果保存起来，以减少重复三角函数计算带来的时间浪费。

由于三角函数计算的重复量相当大，故FFT能极大地提高运算效率。

为了直观地表示信号的频率特性，工程上常常将Fourier变换的结果用图形的方式表示，即频谱图。

以频率f为横坐标，|Y(f)|为纵坐标，可以得到幅值谱；

以频率f为横坐标，arg Y(f)为纵坐标，可以得到相位谱；

以频率f为横坐标，Re Y(f)为纵坐标，可以得到实频谱；

以频率f为横坐标，Im Y(f)为纵坐标，可以得到虚频谱。

信号的频谱分析就是计算机信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于用计算机进行计算，使其应用受到限制。而FFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为用计算机分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT进行近似谱分析

频谱监测是频域测量的又一重要领域。政府管理机构对各种各样的无线业务分配不同的频段，例如广播电视、无线通信、移动通信、警务和应急通信等其它业务。保证不同业务工作在其被分配的信道带宽内是至关重要的，通常要求发射机和其它辐射设备应工作于紧邻的频段。在这些通信系统中，针对功率放大器和其它模块的一项重要测量是检测溢出到邻近信道的信号能量以及由此所引起的干扰。

逐字频谱分析

在梅尔标度下，如果两段语音的梅尔频率相差两倍，则人耳可以感知到的音调大概也相差两倍。 

让我们观察一下从Hz到mel的映射图，由于它们是log的关系，当频率较小时，mel随Hz变化较快；当频率很大时，mel的上升很缓慢，曲线的斜率很小。这说明了人耳对低频音调的感知较灵敏，在高频时人耳是很迟钝的，梅尔标度滤波器组启发于此。