http://s14/middle/002xy0Ovzy6MFUuOJ0F6d&690 对于f(a+b)=f(a)+f(b)-1与数列关系的探究和漫谈

高三（1）班 吉翔

f(x)定义在R上，且对∀a、b∈R,f(a+b)=f(a)+f(b)-1且x>0时，f(x)>1                       http://s12/middle/002xy0Ovzy6MFUuUQdB7b&690 

（一）单调性

任取X1、X2∈R，且x1<x2

f(x2)-f(x1)=f(x2+x1-x1)-f(x1)=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)>0

∴f(x2)>f(x1) ∴此函数在R上单调增

（二）一个特殊且关键的值

∵f(0)=2f(0)-1 ∴f(0)=1

（三）取特殊变量的特殊关系

（1）1.当b=a时，f(a)=2f(a/2)-1

若设f(a)=a1, fhttp://s6/middle/002xy0Ovzy6MFUveMUB35&amp;690 得c=-1/2

∴= 即f=

2.当b=pa+q ,f(a)=(p+1)f(a)+p-1 将其结论拓展至一阶递推公式可以看到

设f(a)=a1  同理设+c=(p+1)(+c) 得c=

∴=(-1)+  即=(-1)+ http://s9/middle/002xy0Ovzy6MFUxurk4a8&amp;690

（2）若给一个值f(4)=5

则f(4)=2f(x)-1 ∴f(2)=3  又f(2)=2f(1)-1∴f(1)=2  ∴f(n)=f(n-1)+1

f(0)=1  ∴ (n∈)  即可以表示所有自然数

又http://s11/middle/002xy0Ovzy6MFUxR2u6fa&amp;690f(a)+f(-a)=2  ∴f(0.5)+f(-0.5)=2------- ① f(-0.5+1)=f(-0.5)+f(1)-1--------②

得f(-0.5)= http://s14/middle/002xy0Ovzy6MFUxJNh3cd&amp;690 满足n+1 

同理可得所有m+0.5，m∈N 都满足 f(n)=n+1 所以n不再局限于

但对于其他分数，因为没有与-a+1=a 的关系存在所以无法再拓展该结论

（四）其他类似函数与数列有关联的关系式

f(x+y)=f(x)+f(y)  且f(1)=1

http://s12/middle/002xy0Ovzy6MFUxVzE7cb&amp;690f(x+1)=f(x)+1   为等差数列

（五）小结

总之，虽然这个探究对应试帮助不大，但还是可以看出数列与函数之间紧密相关，像研究的这两个函数一样抽象的也好，还是像等差数列，等比数列本身具体的表达式所呈现的函数关系也好，都是函数与数列的结合。实际上数列就是函数的一部分。解某些数列问题时，我们通常用函数思想解决（例如那道经典的求 将换成，换成）相信这一点在今后复习数列时应该能更深的体会到。