初论点及曲线在直角坐标与极坐标中的旋转问题

沈诗怡（150106）

高三（1）班

一．              引言

我们知道，在自然界中存在着三种对称形式：镜面对称，旋转对称，以及平移对称。这三种对称常常会在解题过程中出现，而其中旋转对称由于其复杂性往往使人摸不着头脑，难以解题。所以此次，我将对有关旋转对称的问题进行初步的探究

二．              研究内容

1.平面直角坐标系

在平面直角坐标系中，有坐标旋转矩阵

用来描述坐标的顺时针旋转，逆时针旋转时，矩阵则为

。

1.1点的旋转

设平面直角坐标系中任意一点绕原点顺时针旋转角，得到新的点，则

。

1.2直线的旋转

设平面直角坐标系中任意一条直线顺时针旋转角，得到新的一条直线。设为旋转后直线上一点，则

（1）。

将点代入得

。

化简后得

。

1.3圆锥曲线的旋转

1.3.1椭圆

设平面直角坐标系中任意椭圆http://s9/middle/002xy0Ovzy6MFJFz968b8&690，由公式（1）得

http://s1/middle/002xy0Ovzy6MFJFQvte20&690。

化简后得

1.3.2双曲线

和椭圆方程类似，可得

1.3.3抛物线

2.极坐标

在平面直角坐标系中图形的旋转也许有些复杂，但在极坐标中，便会简单许多。这里以点和直线来举例说明。

2.1点的旋转

设极坐标中任意一点，顺时针旋转角，得到新的点，即。

2.2直线的旋转

设极坐标中任意直线，绕原点顺时针旋转角，得到新的一条直线

http://s9/middle/002xy0Ovzy6MFJGyLocc8&690

现在我们将此方程转换到直角坐标系。由上式得

http://s15/middle/002xy0Ovzy6MFJGCjH8ce&690，

，

。

可以看出，这里得到的直线表达式和（1.2）节中得到的直线表达式相同。

三．结尾

在本文中，通过矩阵坐标转换的方式讨论了平面直角坐标系中常见图形任意形式绕原点旋转任意角之后的得到的一般表达式，具有普遍性。在做题过程中可作参考，但仍需具体问题具体分析，灵活使用。