化归与转化思想在高中数学解题中的应用

2014届 高三（1）班 王弘博

同学们进入高中经历了一段时间的学习之后，会发现相比于初中的计算与证明，高中的数学似乎更讲究思想方法的应用与拓展。众所周知，高中的题目往往题干亢长繁琐，加以一些奇怪的符号和定义，题目看上去十分复杂，但是如果你掌握了一定的数学解题方法，比如换元法，建模法，数形结合（其实这也算是化归与转化的一种），等效替代（貌似乱入了物理）等等的武器，那么题目就能迎刃而解了。

   本文简要探究一下化归与转化的方法在高中数学中的应用。

一、转化与化归常用到的方法

（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．

（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．

（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．

（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．

（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．

二、例题精选

例1.常量与变量的转化

在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。

例1.1已知曲线系http://s2/middle/002xy0Ovzy6JnS6YYyB51&690中总存在一椭圆和一双曲线过该点.

分析：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当http://s1/middle/002xy0Ovzy6JnS7cp6870&690过点(a,b).

    解：设点()在曲线上,则整理得

        ①

    http://s6/middle/002xy0Ovzy6JnS7vV7795&690

可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在http://s2/middle/002xy0Ovzy6JnS7AmU9c1&690和(4,9)内分别有一根,即对        平面内任一点(a,b),在曲线系中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.

点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解析几何中用的较普通。

例2.一般与特殊的转化

当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。

例2.1设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___________.

分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：http://s12/middle/002xy0Ovzy6JnS7Knofbb&690成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.解得q=－2

例2.2已知平面上的直线l的方向向量http://s2/middle/002xy0Ovzy6JnS7Y4X771&690则λ为（    ）

A．    B．－http://s5/middle/002xy0Ovzy6JnS88ric94&690    C．2    D．－2

http://s12/middle/002xy0Ovzy6JnS8B7f59b&690=－2

例3.数形结合

许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。

例3.1、求函数的最大值和最小值。

分析：令http://s11/middle/002xy0Ovzy6JnS8PcT0ea&690的二次函数在闭区间上的最值问题，结合二次函数图像讨讨论可得。

解：http://s16/middle/002xy0Ovzy6JnS8RyYD8f&690.

设则，并且。

当http://s11/middle/002xy0Ovzy6JnS9ccl4fa&690时如图。

有

当时， ,为和中的较大者，即或.

当时，有

http://s12/middle/002xy0Ovzy6JnS9XWJ50b&690。

点评：通过换元降三角问题转化为较为熟悉的二次函数问题，利用二次函数图像结合分类讨论，使问题得到解决。

总而言之，化归与转化思想在高中数字中是一门十分重要的技能，本文篇幅有限，只能撷取部分经典例题略作解析，如果同学们想继续熟练此方法的应用，可自行寻找练习题。