三角中半角公式的应用

徐辉

在解三角问题中，半角公式的应用非常广泛，特别是在一些比较复杂的问题中，适当的使用它，往往会有意想不到的效果。

1、应用半角公式求三角函数值

例1、利用半角公式求http://s11/middle/8ac252fb4bc62d6547e8a&690的值

分析：可以利用http://s9/middle/8ac252fb4bc62d666efd8&690是特殊角这一点，运用半角公式快速求解。

解：http://s13/middle/8ac252fb4bc62d6767aec&690

例2、已知http://s10/middle/8ac252fb4bc62d68e1849&690的值。

分析：http://s15/middle/8ac252fb4bc62d6b5ac1e&690却不一定是第一象限角，故要在分类讨论后应用半角公式。

解：由题意http://s12/middle/8ac252fb4bc62d6bd791b&690，

http://s12/middle/8ac252fb4bc62d6d3d6bb&690

⑴当http://s1/middle/8ac252fb4bc62d70f7af0&690

⑵当http://s13/middle/8ac252fb4bc62d72a03ec&690

2、应用半角公式化简代数式

例3、已知：http://s3/middle/8ac252fb4bc62d74f4962&690 

解：原式=http://s10/middle/8ac252fb4bc62d74462f9&690  

http://s4/middle/8ac252fb4bc62d7631323&690  

故http://s1/middle/8ac252fb4bc62d7987560&690

3、应用半角公式证明恒等式

例4、求证：http://s12/middle/8ac252fb4bc62d7a0662b&690

证明：http://s14/middle/8ac252fb4bc62d7a7763d&690

故http://s2/middle/8ac252fb4bc62d7c767d1&690  得证。

4、应用半角公式判断函数单调性

例5、已知函数http://s8/middle/8ac252fb4bc62d7d20da7&690上的单调性

解：http://s3/middle/8ac252fb4bc62d7e49ac2&690

由半角公式http://s11/middle/8ac252fb4bc62d7f2a03a&690  

故函数http://s1/middle/8ac252fb4bc62d7fc4b50&690上是单调递增函数。

5、应用半角公式求函数周期

例6、求函数http://s4/middle/8ac252fb4bc62d8148ff3&690的周期。

分析：原式变形后可利用半角公式将之化为半角的正切，然后再求周期。

解：http://s7/middle/8ac252fb4bc62d81d8686&690   http://s15/middle/8ac252fb4bc62d82d282e&690。