对偶法及其在解题中的应用

徐  辉

对偶：修辞学上辞格之一，就是用句法相似的语句表现相反或相关的意思（《辞海》P₄₈₈）。对偶思想应用于数学解题之中便形成对偶法。具体来说，对偶法就是在数学解题的过程中，通过合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过适当地对这对对偶关系式进行和、差、积等运算，以此来达到数学解题的目的。在数学解题的过程中，适当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到出乎意料的效果。实施对偶法的前提是构造对偶关系式，下面我们通过实例来介绍在构造对偶关系式的几种常用方法，以及如何对所构造的对偶关系式进行合适的运算处理。

一．利用和差变换构造对偶式关系式

对于表达式http://s13/middle/8ac252fb4bc62c9d33dbc&690作为它的对偶关系式。

例1、求函数http://s13/middle/8ac252fb4bc62c9df86cc&690的值域。

解：令http://s10/middle/8ac252fb4bc62c9e197e9&690

再令http://s8/middle/8ac252fb4bc62ca0156d7&690

http://s12/middle/8ac252fb4bc62ca46bcab&690

http://s10/middle/8ac252fb4bc62ca55ec89&690

例2、解方程http://s12/middle/8ac252fb4bc62ca6ded5b&690。

解：设http://s4/middle/8ac252fb4bc62ca779523&690与原方程联立可解得

http://s16/middle/8ac252fb4bc62cab46c3f&690

http://s3/middle/8ac252fb4bc62cac34d72&690 

http://s14/middle/8ac252fb4bc62cae90a4d&690

整理得http://s10/middle/8ac252fb4bc62cb07e579&690

二．利用三角同余构造对偶关系式

在三角中，我们可把三角式中的角的正弦改为同角的余弦，把角的余弦改为同角的正弦，通过这种方法来构造对偶关系式。

例3、求http://s1/middle/8ac252fb4bc62cafd97e0&690的值。

解：令http://s14/middle/8ac252fb4bc62cb1708cd&690，

    再令http://s13/middle/8ac252fb4bc62cb1d8e6c&690 

则http://s3/middle/8ac252fb4bc62cb236982&690

   http://s3/middle/8ac252fb4bc62cb2f2c42&690

从而http://s5/middle/8ac252fb4bc62cb3ce734&690

例4、求http://s3/middle/8ac252fb4bc62cb5238e2&690的值。

解：令http://s8/middle/8ac252fb4bc62cb5fefa7&690，

再令http://s4/middle/8ac252fb4bc62cb5c1733&690

则http://s4/middle/8ac252fb4bc62cb6f99f3&690

故http://s12/middle/8ac252fb4bc62cb77fd8b&690

另：如93年高考题“http://s8/middle/8ac252fb4bc62cb8089e7&690的值是      ”，92年高考题“http://s12/middle/8ac252fb4bc62cb89e77b&690的值是       ”，均可用此法求解。

三．利用互为倒数或互为相反数构造对偶关系式

对于表达式http://s7/middle/8ac252fb4bc62cbb76756&690，以此来构造对偶关系式。

例5、已知对任意http://s13/middle/8ac252fb4bc62cbdae18c&690的解析式。

解：令http://s1/middle/8ac252fb4bc62cbfa5f60&690…①

    再令http://s12/middle/8ac252fb4bc62cc0a99db&690…②

①－②×2得http://s15/middle/8ac252fb4bc62cc1f7f6e&690

故http://s2/middle/8ac252fb4bc62cc3920d1&690

例6、已知http://s1/middle/8ac252fb4bc62cc55b040&690的解析式。

解：令http://s11/middle/8ac252fb4bc62cc8d3ffa&690…①

    再令http://s11/middle/8ac252fb4bc62cca9118a&690…②

    ①－②×3得http://s11/middle/8ac252fb4bc62ccbb16fa&690

故http://s13/middle/8ac252fb4bc62ccd0998c&690

以上我们简要介绍了对偶法以及构造对偶关系式的几种常用方法，当然，构造对偶关系式的方法还有很多，如等差数列法、等比数列法、共轭复数法、互为有理化因子法等，在此不一一箦述。希望同学们在解题的过程中多注意归纳和总结，不断提高自己的解题经验，只有这样，才能切实拓展自己的解题路径，提高发散思维能力，最终达到提高解题能力的目的。