克莱因瓶英文为：Klein bottle。

       克莱因瓶是指一种无定向性的平面，比如2维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这个物体没有“边”，它的表面不会终结。一只蚂蚁可以从瓶子的内部直接爬到外部而不用穿过表面。

       我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。但是克莱因瓶却不同，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去，事实上克莱因瓶并无内外之分！

       在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面是可定向的二维紧致流型。如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑：克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的。换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。

神奇的克莱因瓶

       克莱因瓶的产生：

       1882年，德国著名数学家菲利克斯·克莱因，发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的曲面，它只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面，即环面。

克莱因瓶环面

       应用猜想：

       如果莫比乌斯圈能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作莫比乌斯圈的过程中，我们要对纸带进行180度翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进，但是只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个“逆向原点”，真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次“逆向原点”，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的问题之一。

       克莱因瓶在三维空间中是不可能的，如果非要在三维中要做到完美的克莱因瓶，那它穿过自己的那段就是一个“虫洞”，而加上这个连接瓶颈和瓶底的虫洞，那它就成四维的了，所以说克莱因瓶是不可能在三维空间中实现的。

       克莱因瓶也许就是宇宙空间的模型。宇宙无论多大，从理论上说，从一个地点出发，向一个方向走，最终总能回到了原点。在四维空间，连接瓶颈和瓶底的是虫洞，通过虫洞就能超越光速进行星际间的旅行。