一 一对应数学思想

南京市银城小学  张德飞

一、整体与部分的关系

整体大于部分，这是事实，两千多年前，欧几里得在构筑几何大厦时，就把这个公认的事实作为不可怀疑的公理。

但是伽利略在1638年提出：“部分有时可以等于整体”的悖论。我们一起来看：自然数：1、2、3、4、 5、6、7……

        完全平方数：1、4、9、16、25  ……

我们发现自然数和完全平方数可以建立一一对应的关系，因此从个数上来说他们应当是相等的。

这在当时是一种新方法的方法。事实上，这条古老的公理“整体大于部分”，是从事物有限量上总结出来的，而且仅适用于有限量，因此当被研究的对象是无限领域内的，这条公理就失灵了。

后来德国数学家戴德金正是因此来定义无限集，对于集合A，若能和自己的真子集一一对应，则A是无限集；反之有限集。

一、负数比无穷大还要大

    我们利用一一对应的方法来探究这个问题。

比如分式http://www.meblog.cn/UploadFiles/2013-10/261745801089.png一对应数学思想" TITLE="一 一对应数学思想" />,当分母X取值10、1、0.1、0.01、0.001……时，

               分式的值1、10、100、1000、10000……

规律是分母越小，分式的值越大。但分母接近0的时候，分式http://www.meblog.cn/UploadFiles/2013-10/261745801089.png一对应数学思想" TITLE="一 一对应数学思想" />的值变得“无穷大”。这是如果分母的值在进一步的变小，即变到小于0的时候，那么分式的值就变得比“无穷大”还要大。而我们知道，当分母比0小的时候分式http://www.meblog.cn/UploadFiles/2013-10/261745801089.png一对应数学思想" TITLE="一 一对应数学思想" />的值是一个负数。所有负数应该是一个比无穷大还要大的数。

这是随便开玩笑吗？不，这是大名鼎鼎的英国数学家、牛津大学教授、英国皇家学会创始人之一瓦里士在《无穷大的算术》一书中提出来的。

其实这是负数在西方国家闹得一个笑话，直到1637年，法国的笛卡儿发明解析几何，创建了坐标观念，负数才得到实际的解释。欧洲人才对负数的意义有了真实的领悟。 这个论证当然是极其荒谬的。它其实是一个反比例函数。

二、一一对应

   1. 有16支足球队参加比赛,比赛以单场淘汰制  (即每场比赛淘汰1支球队,)进行,请你算一算, 一共要进行多少场比赛后才能产生冠军?

分析：淘汰赛表示每赛一场就要淘汰一支球队，反之，每淘汰一支球队，就要比赛一场。这表明一场比赛与淘汰一支球队建立了“一一对应”的关系，要淘汰多少支球队就要比赛多少场。所以16－1=15（场）。

2. 在8×8的棋盘上取两个小方格，如图1，问有多少种不同的取法?                                              
     http://www.meblog.cn/UploadFiles/2013-10/261749651743.jpg一对应数学思想" TITLE="一 一对应数学思想" />
      分析：每一种取法，都有一个点与它对应，这个点就是所取的两个小方格的的公共点，它是棋盘上不在边界上的横线和竖线的交点。但是每一个交点实际上对应着两种这样不同的取法。

因为8×8的棋盘上，内部有7条横线，7条竖线，它们的交叉点有:7×7=49（种），所以共有49×2=98（种）

3. 在一个圆圈上，有100个点，其中仅有一个点是红的，其余的全部是黑点，将任意一组三个或三个以上的点用线段顺次连接起来，使之构成凸多边形，试比较：顶点全是黑点的多边形多，还是有一个顶点是红点的多边形多？

    分析:为了叙述的方便，我们称第一类多边形为全黑多边形，第二类为红黑多边形。

任何一个红黑四边形、五边形、六边形……，只要去掉一个红色顶点，就可以顺次连成全黑三角形、四边形、五边形……，反过来任何一个全黑三角形、四边形、……只要添上一个红色的顶点就可以顺次连成红四边形、五边形……。这样，我们可以在全黑多边形与边数大于或等于4的红黑多边形之间建立一一对应关系。

先把红黑多边形分为两类：一类是红黑三角形，另一类是大于或等于4的红黑多边形，上面的研究表明，边数大于或等于4的红黑多边形与全黑多边形一样多，因，所有的红黑多边形多于全黑多边形。即：C99=4851(个)

四、总结

一名数学老师，对教材、对数学知识应该有一种通透感。

数学思想方法是数学的精华，分为四个层次：1、与某些特殊的问题联系在一起的方法，人们称解题术，2、解决一类问题的共同方法称为解题通法；3、人们对数学知识和方法本质的认识，及数学思想；4、数学观念，是数学思想的最高境界，是一种认识世界的哲学方法。

五、练习

1. 有一只钟，每小时比标准时间慢1分钟，中午12点校准时间，晚上该钟指向9点的时候，标准时间是晚上几点几分？

2. 一条路长100米，在一条路的一旁从头到尾每隔5米插1面彩旗，一共要插多少面彩旗？

3. 100以内（含100），是所有的奇数和大还是偶数和大，大多少？