首页博文目录关于我

个人资料

微博

加好友发纸条

写留言加关注

博客等级：
博客积分：

博客访问：
关注人气：
获赠金笔：0支
赠出金笔：0支
荣誉徽章：

正文字体大小：大中小

奇数阶幻方的解法

(2014-01-07 21:18:24)

标签：

幻方

教育

分类：教育


这类的正方形填数，我们称之为“幻方”。 

九宫格是3×3的幻方，称为“3阶幻方”。

幻方常规解法汇总



按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）



奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：

把1（或最小的数）放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 

1、每一个数放在前一个数的右上一格； 

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 

4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 

5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

双偶数阶幻方（对称交换法）



      所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数 。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数 。

双偶数阶幻方的对称交换解法：

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

          对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以8阶幻方为例： 

(1) 先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块（如图）

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

(2) 每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

单偶数阶幻方（象限对称交换法）



以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2

（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

http://image26.360doc.com/DownloadImg/2011/03/3121/10537282_3.jpg

（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

http://image26.360doc.com/DownloadImg/2011/03/3121/10537282_4.jpg

（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。

http://image26.360doc.com/DownloadImg/2011/03/3121/10537282_5.jpg

下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1

http://image26.360doc.com/DownloadImg/2011/03/3121/10537282_6.jpg

奇数阶的幻方，有如下的口诀：

一居首列正中央，依次斜填左上方；

左出框时向右写，上出框时往下放；

遇到重合无处填，退居原数右邻行。

举例（3阶幻方）：
注：*表示还没有填数字的空位置

步骤（1）：即“一居首列正中央”

* * *
1 * *
* * *

步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”

* * 2
1 * *
* * *

步骤（3）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”

* * 2
1 * *
* 3 *

步骤（４）：即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，
（将要填写的数字放到本行靠右一列）

* * 2
1 * *
* 3 4

步骤（５）：

* * 2
1 5 *
* 3 4

步骤（６）：

6 * 2
1 5 *
* 3 4

步骤（７）：注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即６的左上方是已经填写了数据的４的位置，
根据口诀“遇到重合无处填”，此时

6 7 2
1 5 *
* 3 4

步骤（８）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”

6 7 2
1 5 *
8 3 4

步骤（９）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”

6 7 2
1 5 9
8 3 4

只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

双偶阶幻方

n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)

先说明一个定义：
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

13 14 15 16

这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，
一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字
换成互补的数字，就构成幻方。

下面是8阶幻方的作法：

(1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵

1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64

(2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。

64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16

17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1 　



－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－


奇数阶幻方的方法：


奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 

  把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数： 

  (1)每一个数放在前一个数的右上一格； 

  (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 

  (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 

  (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 

  (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 

  这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。


百度百科：幻方 http://baike.baidu.com/link?url=W4SdWgQ0MmzLVmXG3RXUBW1W6GXhow7gCL3UoqLWOqXMFQwWYWSjzUfuejJ9pt49


幻方大世界：http://www.zhghf.net/

例题：

把2，4，6，8，10，12，14，16，18，填入九宫格内，使他们无论横，竖。斜加起来的和都等于30

16、2、12
6、10、14
8、18、4

阅读┊ 收藏 ┊ 喜欢 ▼ ┊打印┊举报/Report

前一篇：[转] 搞卫生小窍门，春节前你一定用得上！

后一篇：关于赴西班牙、巴西考察机械行业服务工作情况简报

新浪BLOG意见反馈留言板　欢迎批评指正

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1