读《数学的源与流》，想到一个问题：

实数是由有理数和无理数组成的，而且从实数轴的稠密程度来看，无理数点比有理数点要“稠密”得多。

什么是有理数？简单的说，形如b / a（a, b都是整数）的数，就是有理数。

什么是无理数？简单说，无限不循环小数都是无理数。

于是问题是：无限循环小数一定都是有理数喽，怎么证明呢？

显然，对于无限循环小数0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…（其中对1<=i<=k，1<=Xi<=9，且是Xi是整数；k是它循环部分的位数，并且k属于自然数集）这样的无限循环小数来说（X1X2X3… Xk是它的循环部分），如果我们能够构造一个分式b / a（a, b都是整数），使得：

b / a＝0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…

那么自然也就证明这个命题了。构造过程如下：

b / a   ＝0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…

          ＝0.X1X2X3… Xk＋(10^－k) （0.X1X2X3… Xk）＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）＋(10^－3k)（0.X1X2X3… Xk）＋...

b =（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－3k)（0.X1X2X3… Xk）a＋...

(10^k)b =（X1X2X3… Xk）a +（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）a＋...

             =（X1X2X3… Xk）a + b

(10^k－1)b =（X1X2X3… Xk）a

b / a =（X1X2X3… Xk）/（10k－1）

换句话说，形如0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…的无限循环小数，它的有理数表示方式是：（X1X2X3… Xk）/（10k－1）

做几个简单验证：

0.33333…＝3 /（10－1）＝1／3

0.142857142857…＝142857／（1000000－1）＝1／7

另外，对于那些不是单纯循环的小数，比如5.2345454545…，只要把它表示成：

5＋0.23＋（0.454545…）10－2

就可以用上面的方法构造出它的有理数表示形式了。