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            3月19日在数学教研活动时间内给老师们进行的一个小讲座
  

    大家知道经验和模仿也能教小学数学，但只能是“摸着石头过河”。“不认识路怎么走路，不知道如何修道”，不了解小学数学怎么教好小学数学？要想成为一名优秀的小学数学教师，必须在小学数学理论上有一定的水平。

    上海市静安区教育学院有关专家对小学数学教师学科专业知识缺失现象做过问卷调查，他们选取上海市两个区40周岁以下约200位具有大专以上学历的小学数学教师作为调研样本，调研内容主要为教师能否应用数学知识为小学生释疑解惑、比较深入地把握小学数学的教学内容。调查结果显示受测教师的平均答对率只有38.8%。这不禁引起了我们对小学数学教师学科专业知识缺失现象的关注与思考。

    下面我选择了8个典型的问题，与大家一起来解读。希望对我们以后的教学会有所启示，有所帮助。

    1、最小的一位数是0还是1？这个问题在很长一段时间存在争论。

    先来看专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。

    再有记数法里有个规定：一个数的最高位不能是0。为什么要这样规定呢？因为若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“ 015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。

    至于日常生活中、生产工作中遇到的数，如004785、043等，它是在特定条件下用来表示特定意义的。例如，电话号码0074816，它表示当地的电话容量不足一千万，最大号码是七个数字组成的，但不能说0074816是一个七位数。

    因此，一个数的最高位不能“0”。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。也就是说，最小的一位数是1，而不是0。

    2、0为什么是自然数？

    中央教科所教材编写组主编陈昌铸说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》中规定：自然数包含0。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。

    大家都知道自然数有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数，而什么也没有是用0来描述的；二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质，这些性质通常是用关系运算“≤、≥、<</SPAN>、>、=、≠”来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的；第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系。“0”加入传统的自然数集合，任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。

   更重要的是书写的需要，十的位置记数写法是10。没有0， 就写不出10，20，30， 100。

   所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。

    3、运算中有乘法和加、减法，为什么要先算乘除法

    或许老师们会说，这就是一种规定，纯粹的人为规定，无需证明。是的，把运算顺序看成数学上的一种“规定”，这是不争的事实，是一种共识。无论从以前的教材里，还是从现在教师（包括课程专家）的认识中，都可以充分印证。然而，现在的问题是：为什么要这样规定？“乘法是第二级运算，按规定计算时要先算第二级运算。”或许在高年级的时候，我们也会这样去告知学生，利用一个新的规定（先算第二级运算）来解读原来的规定（先算乘除法），其实已经走入“循环规定”的误区。因为如若对新的规定作进一步追问——为什么要先算第二级运算，则很显然又回到“为什么先算乘除”（它们实质上是同一个问题）。

    凭借生活中的实际问题能够达到体会“先算乘法”合理性的目的，但是似乎还不足以回答“为什么，”。知其然，还要知其所以然。作为教师，应该而且必须弄清“先算乘法”的真正道理，因为这“道理”将直接左右教学设计的走向，特别是教学的深度和效度。

    下面我们不妨来假设一个数学情境来感悟其中的道理。

    李老师去超市买学习用品，买钢笔花了20元，又买了3本笔记本，每本5元，李老师一共用去多少钱？

    很显然，列出综合算式是20+3×5，应该先算3×5，理由是要求“一共用去多少钱”，必须先算出“3本笔记本多少钱”。这时我们已经体验到“先算乘法”的合理性了，如果是课堂教学，也往往随之结束了。但是，如果我们“钻一钻牛角尖”，将思维再向前推进一步，或许就有新的发现。

    这个问题我们是不是也能这样来解决：20+5+5+5，用钢笔的钱先加一本笔记本的钱，再加第二个笔记本的钱，最后加第三本笔记本的钱，不是也可以吗？可是为什么我们不选择它，而都选择20+3×5？因为这样比较简便。是啊，先算乘法再算加法，比起连加要简便，特别是当相同加数更多的时候，先算乘法就越显得简便了。

    事实上，我们还可以从数学发展的角度去考察“为什么先算乘法”。我们知道，加法是数量变化的低级形式，是四则运算中最基本的算法，减法是加法的逆运算。后来人们在实践中摸索到更为高级的运算——乘法，用乘法计算相同加数的和可以大大提高计算效率，使计算简便。因此，遇到型如“ⅹ+a+a+……+a（b个a ）”的计算问题，自然就想到先用乘法算b个a的和（b×a），然后再加ⅹ。由此可见，人们之所以规定“先算乘法”，归根结底是缘于计算的简便。

    综上所述，混合运算的运算顺序是一种人为的规定，但是这种规定并非依据某个生活情境或同类实际问题数量的多少，更不是数学家们的主观意向，而是根据数学运算本身的特点而确定的，它产生于人们解决问题时的一种“求简”本能，是人们追求简便、快捷的本能在计算活动中的具体反映。也就是说，基于计算的简便，人们才规定“算式中有乘法和加、减法时，应该先算乘法”。

   ４、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？

    “加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅，这其实是一种误解。例如：

    加法“２＋３＝５”，其逆算为“５－２＝３”，“５－３＝２”。故此，加法的逆运算只有减法；

    减法“５－２＝３”，其逆算有 “５－３＝２”， “２＋３＝５”。故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。

    综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。

    同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。

    5、“时”和“小时”有什么不同？怎样使用“时”和“小时”？

    以前我们单位是用小时，但是为了和国际接轨，我们的新课程把时间单位改为了时，这样一改，我们更分不清了。实际上国际上是分清楚这两个概念的，如9个小时是nine hours，9时是nine o'clock。从上面释义的举例中也已清楚地看出：表示经过的时段一般用“小时”表示，表示某一瞬间则用“时”来表示。

    那为什么有的教材在计算经过的时段时也用“时”来表示呢？例如，苏教版义务教育大纲教材（修订本）第七册第49页例2是求一个商店每天营业多少时间，就是这样解答的：
                   19 - 8 = 11（时）
                  答：每天营业11小时。
    这是根据国务院在1984年2月27日颁布的《关于在我国统一实行法定计量单位的命令》所规定的。在这个命令附件1的表4是国家选定的非国际单位制单位，其中对时间这个量的单位名称规定为：分，[小]时，天（日）。在附件1后面的“注”中有这样两条说明：[  ]内的字，是在不被混淆的情况下，可以省略的字；（  ）内的字为前者的同义语。这就是说，“小时”是计量时间长短的一个单位名称，但如果在不至于与表示时间的某一瞬间的“时”发生混淆时，这个“小”字可以省略。因为只有表示经过多少时间的量才能参加运算或换算，所以在算式中可以将“小时”省略为“时”。如，19 - 8 = 11（时）。而在文字叙述中，这个“小”字一般不省略。如“答：每天营业11小时。”当然，如果在文字叙述中不会使人混淆的情况下，这个“小”字也是可以省略的。如周老师设计的练习中就有“一天要工作13时”，“每晚要花1时30分左右时间读书看报”。这里肯定不会有人把“13时”“1时30分”当作时间段中的某一瞬间来理解的。不过，一般在口头语言中还是用“小时”来表示。

     由此，“时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位“时”时，现行教材作了如下处理：

    ◆当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位“时”。例如：

超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略“小”字）

    ◆在用语言表述时间的长短时，为避免“时间”和“时刻”这两个概念产生混淆，则在“时”的前面加上一个“小”字。例如：超市营业时间12小时。

    ◆在用语言表示时刻时，一律不得出现“小时”字样。例如：公园每天早上7时30分开园（而非7小时30分）。

    6、为什么不写“倍”？ “倍”和“倍数”的区别　

    在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多学生会自然提出这样的疑问，如：“饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？”为什么“12÷3＝4”的后面不写“倍”呢？

    我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识）。但同时又该对学生说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称。如：12只的“只”；8克的“克”。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是，“倍”不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果“4”，表示12里面有4个3，就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。所以，在算式里不写“倍”，以免“倍”与单位名称发生混淆。

     在第一学段我们学习了“倍的初步认识”，认识了概念“倍”，而在第二学段,我们又学习到“倍数”这个概念。那么，“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？

    “倍”指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10人，女生有30人，因为“10×3=30”或者“30÷10=3”，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。勿宁说，“倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。

   “倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，“倍数”是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。

    同时我们又看到，30也是6的5倍，因为6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以从这个角度来说，“倍”的涵义应宽泛于“倍数”，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。

    7、“路程”就是“距离”吗？

     这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。

    “路程”和“距离”的含义是有区别的。“路程”是指两地之间,从一个地点到达另一个地点所经过的路线的长度，而“距离”是指连接两个地点而成的直线段的长度。课本中,“天津到济南的铁路长357公里”是指路程,“两个机场之间的航线长度是指两个飞机场的距离

可以看到，“路程”所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是折形线。一般情况下，两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离”，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。

    由此可见，“路程”与“距离”在这里是两个不同的概念。我们在学习新课程标准时，一定要吃透新课 标准的精神，正确理解新课程标准的内涵。这对教师提出了更高的要求，教师如果不及时补充知识、更新观念，在教学中就不会实现预期的目标，甚至会产生错误。

    8、大于180度小于360度的是什么角？

    如教学《角的认识》时，当明确锐角、直角、钝角概念以后，突然有学生提问“；大于180°，小于360°的角是什么角？”教师先是一愣，然后说“：这个我也不知道，书上也没说，大家知道吗？”结果没有人知道，大于180°小于360°的角在这节课就成了没有揭开的谜。事实上，以90°为分界点，180°以内的角可以分为锐角、直角和钝角；如以180°为分界点的话，那么360°以内的角可分为劣角和优角。

    优角大于180°，小于360°。

    劣角：小于平角的角叫做劣角。锐角、直角、钝角都是劣角。

    优角和劣角是指在一个圆周中占据的比例。若占优则称优角;若处于劣势,则叫劣角。

    这内容虽然不是小学阶段掌握的，但教师应该对这些知识有所掌握，因此在以后备课时一定要在备学生上面下功夫。