余广武

近日，拜读的任景业老师《体积是多少？》。任老师一写了四篇文章，借以表达他的观点。通过学习，也引发了我的一些思考。

问题是一个老师提出“容器的体积是指哪一部分呢？容器的体积包不包括容器的容积？以烧杯为例，容积是指烧杯内所能容纳的物体的体积。体积是指玻璃所占空间的大小，还是玻璃所占空间及其容积之和呢？”以及相关的争论说起的。

我一口气看完任老师的几篇文章，产生下面的想法：

 “数学是研究数量关系和空间形式的科学”（2011年版《数学课程标准》）。我们所研究的数学是经过抽象了的，突出其本质属性的东西。正如任老师所说的：“空间形式也是从物体的具体形态中抽象以后的结果，是因为我们关注的属性或说侧重点的不同抽象得到的数学对象。”比如，我们研究烧杯的容积，其实已经把烧杯的里面看成是一个圆柱体，求的就是这个圆柱体的体积。这是一个抽象化的过程，目的就是使复杂度降低，以得到论域中较简单的概念，好让人们能够控制其过程或以纵观的角度来了解许多特定的事态。（抽象化是指以缩减一个概念或是一个现象的资讯含量来将其一般化的过程，主要是为了只保存和一特定目的有关的资讯。）因此，讨论烧杯容积的时候，我们是否可以忽略烧杯中那些不是圆柱体的信息。

接着说“烧杯的体积”。我们研究所谓“烧杯的体积”的时候，是不是也要考虑这个“烧杯”在空间形式中的属性。对于烧杯这样一个容器，从数学的角度看，它实质上也是一个“圆柱体”。

我在想，为什么会有关于“烧杯的体积”这种问题的争论，是我们的教师对知识的科学性有探究精神，还是我们真的在钻“牛角尖”，还是我们的数学素养确实太低了？我不敢轻易下结论。这样的问题往往是伴随着课改出现的，因为在课标实验稿实施过程中，我们强调了数学问题“生活化”，在这个过程中，我们往往忽视了生活中问题“数学化”。因而在编制题目的时候会片面地追求“生活化”，导致所编制的题目“生活味”很浓，“数学味”受到削弱。杯子有盖与无盖，似乎不是我们在讨论一个重要的因素，如果要这么讨论的话，那么，有些茶杯是有把手的，是不是也要跟学生说清楚，这个茶杯的把手要忽略不计呢？我们在讨论一辆汽车的车箱容积的时候，是不是也得说明这个车箱的四壁都是光滑的？在计算长方形桌面的面积时，是不是要告诉学生这个长方形桌面的四个角都直角，而不是弧形的？（事实上，很多课桌的桌面，在制作的时候，为了案例，四角都做成圆角。）诸如此类问题，我想还是要从实物抽象出几何图形，然后才进行讨论，这样的讨论才有意义。