借助运算意义   探求计算方法

 ——北师大版小学数学四年级下册《文具店》课例研修报告

   

【研修背景】课例研修活动是中小学教师继续教育的“一场静悄悄的革命”，她将围绕“教什么”“如何教”“如何学”“学得如何”等问题，采取两实践两反思等模式，以同课异构的方式展开活动。为使广大参训教师弄清活动的操作步骤，做好示范引领，笔者率先开展了课例研修活动。

【研修内容】北师大版小学数学四年级下册《文具店》。纵观本单元的学习内容，发现教材出现小数乘小数的竖式乘法之前，没有出现过小数乘整数的竖式乘法。因此，后续教材与本节教材的学习要求形成较大的落差，即跳跃性较大。所以，不仅需要而且可能适当增设或提高本节学习内容的台阶，以便与后续学习内容更好地衔接，体现本单元核心的数学思想，即小数乘法与整数乘法之间本质的联系。

基于上述原因，本节教材的学习目标将定位在以下三点：

①    结合解决实际问题的过程，体会小数乘整数的乘法的意义。

②      探索小数乘整数的算法，经历与同伴交流各自算法的过程，体会算法的多样化以及小数乘法与整数乘法的本质联系。

③    会运用整数乘法的算法技能，进行简单的小数乘一位整数的计算（包括竖式计算）。

【课堂写真】

师：在第一单元小数知识的学习中，我们学习了哪些计数单位？

生：  、  、

师：相邻两个计数单位间的进率是多少？

生：10

师：1里面有几个0.1？0.1里面有几个0.01？0.01里面有几个0.001？

学生逐一回答后，师追问：从中你又发现了什么？

生：相邻两个计数单位间的进率是10。

师：在前面我们学习了整数乘法，请大家快速计算出14×7，32×9。

学生口答后师请生说出其中一算式的意义。

师小结并板书：14表示相同加数，7表示相同加数的个数。

师：“我们已经学过整数的四则运算和小数的加减法。今天，我们开始学习小数的乘法。板书课题：文具店。通过课前的预习，你学会了哪些知识？还有哪些不懂的问题？

学生交流后提出问题：小数乘法和整数乘法有什么联系？怎样计算小数乘法？

师请同学打开课本，阅读文具店”的情境图，从中你能获得哪些数学信息？根据图中的信息，你能提出哪些数学问题呢？

学生踊跃发言，并提出了问题。

生：每块橡皮0.2元，买4块橡皮需要多少元？

生：每个卷笔刀0.6元，买5个卷笔刀需要多少元

师：像这样的问题还能提出很多，我们先来解决第一个问题。

学生读题后，师请学生列出算式0.2×4。

师：比较14×7与0.2×4的相同点与不同点？

生：14×7是整数乘整数，0.2×4是小数乘整数。

师：对，这节课我们要探究的就是小数乘整数。怎样计算0.2×4呢？请同学先独立思考，再在小组进行交流。

学生独立思考，小组交流，全班汇报交流。学生先后提出了以下3种解法：

第一种解法：0.2×4＝0.8(元)

老师追问:“你是怎样计算的？”

生：0.2×4就是0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8。

师：谁还能结合李海峰的想法用自己的语言说一说？

经过几个学生的交流：0.2×4就是4个0.2相加。

师追问：0.2×4的意义与整数乘法的意义有何关系？

生：相同，都是求几个相同加数的和。

第二种解法：0.2元＝2角，2×4＝8（角），8角＝0.8（元）

师：你们能将新知转化成旧知解决问题，真是不错！请同学比较一下0.2×4与2×4，有什么变化？

学生在老师的引导下发现：一个因数不变，另一个因数扩大10倍，积也扩大10倍。

师：“这是把小数转化为整数的计算方法，这种想法很有价值。转化是种重要的数学思想，在数学学习中经常将新知识转化成已学的知识来解决，希望大家能熟练掌握它。还有别的解法吗？

 

0.2  0.2 0.2  0.2

第三种解法：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

师:万召文同学是借助图形来计算0.2×4，请你来说说你是怎样涂的？

生1：我是先涂一份是0.2元，一共涂了4份，一共就是0.8元。

师：说的非常清楚，而且标清了每2个格是一份。有谁还用到了画图的方法？你能再说说你的涂法吗？

生2：我是把整张纸看成1元，8个小格子就是8角，8角就是0.8元。

师：他的想法可以吗？你们能想到画图的方法解决问题，真是很好！

师：通过我们的学习交流，不管用什么方法，最后算出的结果都是：买4块橡皮需要0.8元。(师板书完整补“0.8元”，学生口答)认真观察这几种方法他们之间有哪些共同点呢？

生：都是转化成已有的知识解决的问题。

生：都是求4个0.2的和是多少。

师 ：（手指黑板）的确是这样，这几种算法表示的方式虽然不一样，但他们都是在求……

生：4个0.2的和是多少。

师：对，这几种方法只不过呈现的方式不同，本质是相同的。在数学计算的学习中，我们要注意观察算式与算式、算法与算法之间的联系与区别。

师：我们解决了第一个问题，大家自主尝试解决第二个问题。

学生尝试练习后，汇报。

生：0.6×5=0.6+0.6+0.6+0.6+0.6=3（元）

师：如果是500个0.6，你还用这种方法吗？

生：那太麻烦了，可用竖式计算。

师请学生列式并说一说是如何计算的？

生：5乘6等于30，小数点对齐，0.6×5=3。

师：大家听清楚他的计算方法吗，同意这种算法吗？

大部分学生都同意这种算法，师迟疑了一下，让学生举例验证了这一想法。

生：0.1×10……例证反而验证了其正确性。

老师很着急，直接告诉学生这种想法是错误的，又通过分数的意义说明0.2×0.1的结果肯定比0.2小。

课堂练习，课堂小结。

[问题研讨与反思]

小数乘法的意义是在学生已经学习过“元、角、分与小数”、“小数的意义”、“小数的加减法”和掌握了“整数乘法的意义”基础上进行教学的，它是在整数乘法意义的基础上的进一步扩展。教材通过“文具店”情境，引导学生提出数学问题。然后对“买4块橡皮多少元”展开讨论，列出算式。再让学生探索0.2×4等于多少，学生可以采用不同的方法进行计算。教材呈现的方法都是利用了乘法的意义，分别运用了连加、元角分的转化和借助直观模型得出了结果，然后引导学生对这三种方法展开讨论，从而帮助学生进一步理解小数乘法的意义。

本节课重点是让学生了解小数乘法的意义，根据乘法的意义计算小数和整数相乘。因此在教学时，首先我充分利用“文具店”这个情境图，让学生发现情境中的数学问题，发展学生提出问题意识。其次，在探讨问题“每块橡皮0.2元，买4块橡皮需要多少元”时，我留给学生比较充足的时间和空间，让每个学生在独立思考的基础上，再去和其他同学交流和探讨不同的算法，体现算法多样化。同时鼓励学生发表自己不同的见解，尽可能地让不同层次的学生获得不同的发展，发挥学生的主体性。学生计算的方法都是利用了乘法的意义，分别运用了连加、元角分的转化、小数的意义和借助直观模型得出了结果，最后引导学生对这几种方法展开讨论，沟通不同方法之间的共同点，从而帮助学生进一步理解小数乘整数的意义。另外在教学中我引导沟通算法之间的联系，让学生在独立思考、小组交流、比较验证、尝试练习中理解算理，掌握算法。课堂上以学生为主体，学生自己提出问题，自己列出算式，自己探索小数乘法的计算方法，展示了问题解决全过程，真正体现了解决问题的涵义所在。本节课让我深刻地体会到：计算的意义和方法是密不可分的，运算方法的形成是建立在对运算意义的理解基础之上的，我们在平时的教学中应该重视运算意义的教学，才能使学生更好地理解和掌握运算方法。

这是学生第一次接触小数乘法，通过课前自主学习，大部分学生虽会算小数乘法，知道把小数转化成整数来计算。少数学生能用竖立计算算出结果，但对于为什么要这么算，竖式的写法还很模糊这一现象。课前备课对这一方面有预设，如在第二种解法中比较0.2×4与2×4来复习积的变化的规律，引导学生直接运用这个规律计算出0.2×4，同时运用小数乘整数的意义进行验证，感受规律的正确性。同时是为后面学习“小数点位置移动引起小数大小变化规律”和“小数乘小数”作铺垫。但在实际教学中，教师对学生的错误想法预设不充分，当学生出现这一问题后，教师想通过举例来验证它的错误，但从学生的举例来看都是小数乘整数的例子，其本质是小数加法（几个相同加数的和），其结论必然是正确的。

在议课中我与观课教师共同研讨了以下几个问题：

1、 怎样引导学生从数学情境中提出有价值的问题？

数学情境，就是从事数学活动的环境和对象，也是产生数学行为的条件和根据。常见的现象，数学情境呈现后，老师一般会这样设问：“你从情境图中能获得哪些信息？”，“根据这些信息，你会提出哪些数学问题？”前一问没有挑战性，学生不用什么周密的思考都可以随口应答；后一问过于开放，没有边际，提出的数学问题未必能满足教学需要。这样的设问一般效果不佳。

问题情境出现后教师提出了问题目标应尽量的具体化，不宜过于开放，否则会让学生漫无目的的提出无关紧要的数学问题，浪费了教学时间。比如说：“你们根据图中的信息，能提出哪些数学问题呐？”可以改成“你能不能提出一个相同加数的连加问题呢？”这样可以把问题情境中所隐含的本节教学目标凸现出来，从而给学生的学习与思考指明一个方向。

2．解决问题的过程是如何体现数学化特征的？

“每块橡皮0.2元，买4块橡皮一共多少元?”

这是一个实际问题，它能转化（抽象、简化）成什么样的数学问题呢？能转化为如下数学问题：①4个0.2是多少？②0.2的4倍是多少？根据学生已有的知识经验,这两个数学问题都可以列乘法算式0.2×4来计算，如此把实际问题转化为数学问题，从现实世界引到符号世界，是横向数学化的过程；接着,在符号世界里探索0.2×4怎么算，则是纵向数学化的过程。

而在这节课中，教师的指导没有体现上述数学化的特征，而是从实际问题出发直接探索算法，解决问题；在探索算法方面也缺乏必要的抽象和深度的引导。

我们看到学生能够自发地发现如下两种算法：

算法一：0.2×4＝0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8，这个算法是依靠整数乘法意义的迁移，把小数乘整数的运算转化为相同小数的连加运算。

算法二：0.2元＝2角，2角×4＝8角，8角＝0.8元，这种算法是把小数乘法建立在整数乘法的基础上，通过元、角之间的转换，把小数乘法转化为整数乘法。

算法一把小数乘整数与相同小数的连加运算联系起来，虽然有助于理解小数乘法的原始意义，但它没有实用价值；算法二，虽然在小数乘法与整数乘法之间建立了联系，但这种联系还没有脱离具体情境，还不能产生广泛的迁移。因此，对0.2×4算法的探究不应该就此罢休，纵向数学化的过程不应该就此结束。

    继续引导学生探究的关键是：教师应该怎样引导学生用更为抽象的数学语言（算式）表达出算法二中所蕴含的数学思想方法？

学生熟悉0.2元＝2角，也懂得0.2就是2个的0.1，即0.2＝2×0.1，在教学中虽有直观模型的直观操作，但学生对0.2元＝2角与0.2＝2×0.1缺乏沟通，无法把两者有机地联系起来。事实上，后者就是前者抽象的表征形式。认识到这一点，教师应该指导学生，进行如下算法：

算法三：0.2×4＝（2×0.1）×4                （小数的意义）

             ＝（2×4）×0.1                  （乘法交换律和结合律）

             ＝8×0.1                        （整数乘法）

             ＝0.8。                         （小数的意义）

算法三是算法二进一步的抽象化和形式化。它不仅揭示了小数乘法的算理，而且也充分体现了基本运算律的价值。如果说算法二还紧扣着问题情境中数量的具体意义，那么算法三则是抽象的数字计算了。

    3.小学四年级学生能否达到算法三的水平？

诚然，算法三不是学生现有的发展水平，仅靠他们个人的努力是想不到这种算法，达不到这种水平的。但算法三是在他们最近发展区的框架内，是他们潜在的发展水平。从算法二提升到算法三的水平，是从特殊到一般的上位学习，这类学习比较困难，学生要过这个坎，不能缺少教师的引导和帮助；在教师的指导下，他们不仅可以而且应该达到这种水平。

【教学再设计】

结合课后议课与个人反思，对教学设计进行如下修改：

教学目标：

1、结合解决实际问题的过程，体会小数乘整数的乘法意义。

2、探索小数乘整数的算法，经历与同伴交流各自算法的过程，体会算法的多样化以及小数乘法与整数乘法的本质联系。

3、会运用整数乘法的算法技能，进行简单的小数乘一位整数的计算（包括竖式计算）。

教学重、难点：

1、理解整数乘法与小数乘法的关系。

2、结合情境和操作来帮助理解小数乘法的意义。

教学过程：

一、复习旧知，引出新知

在第一单元中，我们学习了小数的意义，你还记得吗?

1、复习小数的意义

①课件出示方格图，学生说小数。（0.7、1.05）

 

学生回答结果并说出理由。

②在0.7后面加上“米”字，这个大正方形表示什么？加上“元”呢？

2、说说0.4、0.08分别表示什么？

2、复习整数乘法的意义

①快速计算出14×7、32×9的结果。

②说出14×7的意义。

3、引出新知情境

课件出示课本情境图：

 

①根据图中信息，你能提出一步计算的乘法数学问题？

学生同伴交流，全班汇报，教师相机板书。

②列出算式

学生独立列式，指名板演。

③这些算式和以前我们学过的算式有什么不同？

学生交流后，教师小结：这就是我们今天要学习的小数乘法【板书课题】。看了这个课题，你想了解哪些知识？

学生自由发言。

二、自主探索，理解意义

我们就选0.2×4这个算式展开研究。

1、教师指情境图，在这里0.2×4表示的是什么？

学生交流，师板书算式意义。

2、你能用自己的方法算出0.2×4的结果吗？

学生尝试计算，小组交流算法，全班汇报，教师相机引导、板书。

预设：

①  0.2＋0.2＋0.2＋0.2=0.8元。

师追问:这种方法利用哪个知识解决的问题？

②  0.2元＝2角，4×2角＝8 角，8角＝0.8元。0.2×4=0.8元

师引导学生比较：0.2×4与2×4的异同，复习积的变化规律。

③竖式计算

0.2

  ×    4

0.8

师：你是怎样算的，能说说你的想法吗？

学生可能出现：先用2×4＝8，再用0×4＝0，小数点对齐。老师告诉你们，你们列竖式的结果是正确的，刚才提到的小数点直接落下及4到底和哪个数对齐，这需要我们在今后的教学中进一步研究，有兴趣同学课下可以看一看书。

借助直观模型（即方法④）来解释，如学生没有提出，教师直接给出。

④

0.2  0.2 0.2  0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

师：这位同学是借助图形来计算0.2×4，请你来说说你是怎样涂的？

师追问：每2个格是一份，共涂4份。有谁还用到了画图的方法？你能再说说你的涂法吗？

师引导：在这里，一份是0.2，也就是几个0.1？4份是多少？

          0.2         0.1×2×4＝0.8元

 

 

0.1      0.1

3、比较：

师：通过我们的学习交流，不管用什么方法，最后算出结果都是：买4块橡皮需要0.8元。(师板书完整补“0.8元”，学生口答)认真观察这几种方法他们之间有哪些共同点呢？

学生交流

师小结：这几种算法呈现的方式虽然不一样，但他们本质相同，都是在求4个0.2的和是多少。

三、初步应用，提炼算法

1、学生尝试解决：买4把尺子需要多少元？

学生独立练习后，汇报结果和算法。当有学生交流到“涂色的方法”后，请其它学生也在课本上涂一涂，并说一说。

2、你能用最快的方法计算下面各题吗？

0.2×3       2×0.2      0.8×2      0.6×3

学生独立计算，汇报结果。请计算速度快的同学介绍计算方法，教师引导学生发现“直接用乘法算，再看是几位小数”的计算方法。

四、强化意义，训练方法

1、完成课本“涂一涂”、“填一填”

①先说算式的意义

②再涂色

③写出计算的结果

2、小组讨论：0.01×1000

3、看加法算式，写乘法算式

0.7+0.7+0.7+0.7+0.7=

0.004+0.004+0.004+0.004+0.004=

4、你能直接写出得数吗？

0.003×3     0.01×60     5×0.1     7×0.01

5、画图表示0.3×5的意义。

【研修反思】

本节课教材内容比较单一，所提供的素材不能适应教学需要特别是不能完成学生应该达到的知识、技能目标时，我们该怎么办？

一、拓展教学内容，完善学生的认知结构

在教学中，我在新课之前复习了“小数意义”和“整数乘法的意义”；通过比较0.2×4与2×4的异同，复习积的变化规律；比较四种算法的异同，进一步理解小数乘法的意义，这样在利用学生已有知识基础的前提下，拓展知识面，完善认知结构。

在教学时，教师首先充分利用“文具店”这个主题图，也是学生生活中的实际问题，让学生主动尝试从数学的角度发现并提出问题，如：每把尺子0.4元，买3把尺子需要多少元？……发展学生的问题意识。

二、在算法多样化的基础上进行算法的优化

从教材的编排来看，只要求学生自主探究算法，体会算法的多样性。笔者认为，这样达不到计算的基本要求。因此，在本节课中，根据学情适当补充了教学内容，在算法多样化的基础上，引导学生进行算法比较，从而达到算法优化的目的，避免了学生盲目的选择算法，影响计算的速度和正确率。这样，既让学生的思维得到了发展，也帮助学生形成了必要的计算技能。

学生在探索0.2×4如何算的过程中，教师先给学生独立思考的机会和时间，保证每个孩子都至少有一种计算方法，之后全班呈现出四种算法，通过交流、比较、反思，引导学生发现虽然这几种算法呈现的方式不一样，但他们解决的是同一个问题。在这一过程中获得分析问题和解决问题的一些基本方法，形成自己解决问题的策略，体验解决问题策略的多样性，学生在解决问题过程中获得的发展，发展学生的创新意识。

三、适当地发挥教师的主导作用。

本节课主要学习小数乘整数的计算方法和乘法算式表示的意义，但要真正让学生构建完整而真实的教学模型，还有很大的难度。计算教学，重在理解意义和掌握算法，形成基本的计算技能。教学中，学生在交流解决问题的办法时，大多数都能说出教材上提供的三种方法，即“连加”“ 元角分的转化”“画图”，实际上这三种方法对于基本技能的形成并不适用。所以在教学中，笔者参与到学生的算法探究过程中，对学生的计算方法给予引导、指导，帮学生找出“先用乘法计算，再判断积的小数位数”的计算方法，并鼓励他们个方法介绍给大家，这样，不仅体现学生学习的主体作用，同时使学生的数学思维和数学技能得到提升。

四、课前应充分关注“教什么”，教师只有真正弄清教材的编写意图及知识间联系，充分预设，才能灵活应对课堂中出现的生成性问题。

在第一次教学中出现的四种方法：这几种算法呈现的方式虽然不一样，但他们本质相同，都是在求4个0.2的和是多少。 当课堂出现了 “小数乘法计数结果的小数点与因数小数点对齐”的错误想法时，这说明学生的问题意识和自主探究解决问题的积极性得到了彰显，这也反映研读教材的重要性，只有课前真正弄清本节课要“教什么”，才能使课堂彰显出生命的活动。

在第一次教学中教师通过“如果是500个0.6”还用这种方法吗？引导学生出现第四种方法列竖式，并得出“计算结果的小数点与因数的小数点对齐”的想法，由于课前备课不充分，教师一时不知怎么应对，只有让学生举例来验证。殊不知，小数乘整数就是几个相同小数的加法运算，举例验证只能证明其正确性。为避免其想法干扰学生今后的学习，教师不能听之任之，又通过0.2×0.1来说明其片面性，学生勉强接受且浪费了不少教学时间。现在想来，0.02×0.1即能说明其错误性。在第二次教学中，教师通过延迟评价并借助直观模型（即方法④）来解释，使学生真正理解了小数竖式乘法。竖式是连加、元角分的转化、画图等抽象的表征形式。而算法三又是竖式算法进一步的抽象化和形式化。它不仅揭示了小数乘法的算理，而且也充分体现了基本运算律的价值，且进一步沟通了几种算法之间的联系，再调用前面刚学过的积的变化规律的经验来完善，小改动却赢得了课堂的精彩，彰显了教师的智慧。

在今后的教学中，关注“教什么”要考虑以下两点：

1、要考虑学生已有的知识经验是否会对探究点产生干扰。

新知的探究点只有在学生的最近发展区内才能激起学生的“悱愤”，问题过深或过浅都很难激发学生的关注；学生已有的知识经验既是探究的基础，有时又在很大程度上制约学生的探究。如第一教学中小数加法的计算经验干扰了学生对小数乘整数乘法算理的探究。因此，教师创设问题情境让学生探究时，要考虑到教师预期的教学目标与学生现状之间的矛盾，没有难度、没有挑战性的探究，学生没兴趣；知道了结果再让学生去探究，学生也没兴趣。

2、要在教材的“留白”处挖掘、拓展教材的深度和广度。

就“小数乘整数”一课笔者翻阅了不同版本教材的编写，北师大版教材是把第一课时的“小数乘整数”放在“文具店”里依托于元角的换算关系，仅让学生口算出很简单的一位小数乘一位整数，而把一位小数乘一位小数的乘法(竖式计算)放在第三课时“街心广场”，依托于米和分米、平方米和平方分米之间的关系来引出竖式的，其他版本的教材都把“小数乘整数”竖式计算单列一课时，但不管怎样安排，教材就竖式如何引出都做了一个“留白”。笔者以为，教材不管是用米、分米，平方米、平方分米，还是用元、角、分之间的换算来引出竖式，都不能引起学生对列竖式计算的需求，学生已有的那种朴素的解决问题的策略都会制约学生去寻找解决问题的新办法。据此笔者认为，教师在使用教材时不妨在此动动脑筋，考虑如何增减教学素材更便于学生感悟到用竖式计算“小数乘整数”的必要。在第二次教学中教师就是很好地利用了这一“留白”，拓展、延伸了教材的例题。我想，课堂中不是学生缺少探究，而是老师缺少对教材探究点的开发与挖掘。课堂上学生是否主动地参与教学活动，要看教师是否能提供有利于学生发现问题的素材来激起学生的“悱愤”。

 

【此文获霍山县课例研修报告评选一等奖】