加载中…关于著名几何谬论“任何三角形都是等腰三角形”的证明
(2011-12-21 02:00:18)
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杂谈 |
一个著名的几何学谬论就是：任何三角形都是等腰三角形。这个看似奇葩的结论在一番“证明”下绝对让人大开眼界。
http://s11/middle/886733de4b48948b7466a&690
角A平分线与BC垂直平分线交于O点，过O做两边的垂线OM,ON.
角A平分线与BC垂直平分线交于O点，过O做两边的垂线OM,ON.
AMO全等于ANO(角角边)->OM=ON,AM=AN
OB=OC,OM=ON,两个直角相等->BMO全等于ONC(边边角在直角三角形是成立的)->BM=NC->AM+MB=AN+NC
故AB=AC
有没有点儿震惊的感觉？
接下来就要找到底是哪里出了问题，网上一般人都说边边角不能证明，O点不在三角形内。
边边角在直角的情况下是成立的，在此不予赘述。O点的确不可能在三角形内，但这不是原因。
首先，证明角A平分线与BC中垂线交点O必在三角形外，这其实并不简单。
分两种情况：AB=AC
AB不等于AC
第一种情况不做证明，很容易说明O在BC边上。
下面说明第二种情况：
用反证法，假设O在三角形内，根据已知条件，按照最开始的证明过程（O点在三角形内的前提下一切证明都是正确的）就得到了AB=AC的结论，这与AB不等于AC的假设是矛盾的，所以O点必然在三角形外。
但是O点在三角形外就能说明最初证明的错误了么？不能。看下图：
AMO全等于ANO(角角边)->OM=ON,AM=AN
OB=OC,OM=ON,两个直角相等->BMO全等于ONC(边边角在直角三角形是成立的)->BM=NC->AB=AM+MB=AN+NC=AC
故AB=AC
可见O点在外面并不影响上述证明。
那么问题究竟出在哪里？我不禁想起了福尔摩斯的名言“把所有不可能的都排除了最后剩下一个必然是真相，不管它看起来多么难以相信”
纵观证明过程的每一句，貌似找不出漏洞。但是最大的问题就是我们直观上看上去最不容易认为是错的那句：AN+NC=AC！
在O点在三角形内时，AN+NC=AC
是成立的，也因此我们能通过反证法说明O在三角形外。
但是O点在三角形外时就不能确定N一定在AC之间了。可以说N一定不在AC之间。假设N,M都在AC，AB之间，那么
用同样的反证法就可以得到AB=AC的矛盾结论，这就证明了MN两点不可能同时在AB，AC之间。
如果大家拿起尺规亲手画一画图，就会发现其实是这样的：
但是这个谬论是包含很多证明过程的，并不是像网上很多人说的你一画就能说明的问题。这个命题证明过程的错误在于引用了一个错误的条件：AM+MB=AN+NC。这个才是导致结论错误的唯一问题
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