11这个数字，大家应该有感情，著名的光棍节就是了，虽然俺经过努力，成功脱光，不过，每年的哦光棍节俺都不忘记忆一番。不过今天俺们不说光棍节，倒是伟大的科学家们说过这样一句在我看来是相当抽人的一句话：咱们宇宙其实就是11维的，这是什么意思？莫非宇宙是光棍儿们统治的？先不管这个深奥的不得了的东西，我们来看看著名的杨辉三角。
       下面就是杨辉三角，他和二次项定理有很亲密的关系：
                                1
                             1    1
                          1    2    1
                       1    3    3    1
                    1    4    6    4    1
                 1    5   10  10   5   1
              1    6   15  20  15   6   1
           1    7   21  35  35  21  7   1
        1    8   28  56  70  56  28  8   1
………………………………………………
       其具体原理大家都知道，那就是每一个数恰和是头上两个数之和。这里要说的，是这个杨辉三角和11的关系：
       杨辉三角的第一行是1，恰是11的零次方；第二行是11，恰是11的一次方；第三行是121，恰是11的平方；第四行是14641，恰是11的三次方；……这就是规律！
       不过慢慢地到后面就不行了，比如第五行，第五行是15101051，而11的五次方=161051。好像不行了也。不过呢，我们前面讲过，这完全是因为十进制的原因，在前面的几行里，每一个数字都是一位数，但是从第五行开始，就有数变成了两位数，这就要发生进位的现象。我们按照这个观点进行一下重新的计算：
       第五行是15101051，他实际上代表的数是：
       1
         5
         10
           10
               5
       +       1
 ———————
      161051
       而这，恰好就是11的五次方了，后面的更高的几行，也可以按照这个原理来进行。也就是说，杨辉三角的第n行，其实就是11^n，只不过要注意十进制的进位就可以了。
      其实这个结论，完全可以通过二次项定理来证明，在这里就忽略。其实对于杨辉三角，还有很多的奥秘等着我们去发掘。比如，我们可以通过杨辉三角来求一些级数之和，比如我们可以通过杨辉三角查出1+2+3+4+5=15.1+3+6+10=20.这是如何做到的？我们明天继续讲述。昨天我们见识了漂亮的杨辉三角，知道杨辉三角 的每一行其实是和11这个数字有密切关系的。今天我们来看看杨辉三角的一个有趣应用，那就是用之来求一些级数之和。
                                1
                             1    1
                          1    2    1
                       1    3    3    1
                    1    4    6    4    1
                 1    5   10  10   5   1
              1    6   15  20  15   6   1
           1    7   21  35  35  21  7   1
        1    8   28  56  70  56  28  8   1
………………………………………………
       比如我现在求级数1+2+3+4+5的和，运用这个杨辉三角就变得很简单：在杨辉三角里找到这个级数，如下图黄色部分所示：
       http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201104/86f7e92528e2a1cbd064eed4bdf9b22e20110414140848.jpg
       那么其左下角的15就是所求的和，也就是如图中的红色部分，同样的，要求数列1+2+3+5+6+7，找出来以后，立马就可以得到其和为28，朋友们可以自己找。再如，要求级数1+3+6+10+15，你可以在杨辉三角里找到两个，一个就是和上面图一个方向的，在其左下角的数为35，这个级数的和就为35.如果是反方向的，那么答案就在他的右下角，也是35。朋友们可以自己查找级数1+4+10+20+35的和。
       上面的方法很实用，不过朋友们或许已经发现，还是有所缺陷的，那就是每一个数列只能从1开始加，比如要计算级数6+10+15+21，我们就不能用这个方法计算了。难道这个方法就不适用了吗？非也！我们需要对上面的方法进行改进：
       以计算6+10+15+21为例，我们在杨辉三角里找出这个级数，如下图所示：
       http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201104/f47454d1d3644127f42070181a8b9afc20110414142551.jpg
      这个级数左下角的数字为56，按照上面，这个56应该是1+3+6+10+15+21的和，那么如何得到6+10+15+21的和呢？很简单，那就是找到第一个数6，与6相邻并且在同一行的数字4.注意4和56的位置。他们都在级数所在斜行的下方的那一斜行上。如果方向相反，也是这一原理。那么56-4=52就是这个级数之和。咱们按照这样的方法，可以计算5+15+35这个级数的和为56-1=55；3+4+5=15-3=22。还可以举出很多。比如各位朋友可以自己寻找级数10+20+35的和。
       这是杨辉三角的一个很巧的应用，对于他的证明，也完全可以用组合数公式证明。我们初次之外还可以观察这样一个性质：如果我们将从上至下每一个斜行分别按照从小到大的顺序记号，那么第一斜行是一个常数数列，第二斜行是一个以1为公差的等差数列。第三斜行就是一个高阶等差数列……其实，杨辉三角有一个一成不变的等差数列，非常有趣。明天我们继续介绍。

 为了方便，先把已经说了两天的杨辉三角先放出来：
                                1
                             1    1
                          1    2    1
                       1    3    3    1
                    1    4    6    4    1
                 1    5   10  10   5   1
              1    6   15  20  15   6   1
           1    7   21  35  35  21  7   1
        1    8   28  56  70  56  28  8   1
………………………………………………
       我们考虑每一个斜行：
       第一个斜行为“1，1，1，……”，这是一个零阶等差数列；
       第二个斜行为“1，2，3，4……”，这是一个一阶等差数列；
       第三个斜行为“1，3，6，10……”，这是一个二阶等差数列；
       第四个斜行为“1，4，10，20……”，这是一个三阶等差数列；
       ………………………………
       第n斜行就是一个n-1阶等差数列。这是杨辉三角里一个很有趣的性质，关于高阶等差数列的概念，各位可以去参考百度百科解释 。
       除了这些，他还有一个更加有趣的性质，不仅是有高阶等差，而且还有到处都有的等差数列
       http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201104/f3ccdd27d2000e3f9255a7e3e2c4880020110415120452.jpg
       如上图，我们选择任意两行，现在考虑下一行中的元素与上一行对应元素的比值，如果差一个，就用0补上，那么这些比值就为：
       1/1，4/5，6/10，4/10，1/5，0/1
        这一个数列有什么性质？这是一个等差数列！
        不仅仅是这仅有的两行，你任取两个相邻行，上行与下行的对应元素之比形成的数列为一等差数列，记住，一定是上一行比上下一行。比如考虑“1，5，10，10，5，1，0(差的就用0补齐)”与“1，6，15，20，15，6，1”两行，其对应元素比值为：1/1，5/6，10/15，10/20，5/15，1/6，0/1.这显然也是一个以-1/6为公差的等差数列。也就是说：
        考虑杨辉三角里的相邻两行，上一行与下一行的对应元素之比构成的数列为等差数列。
        并且我们可以进行量化：考虑第n行与第n+1行，他们所形成的等差数列的公差为-1/n 。当然这个数列的排列顺序要从从左至右依次。
        不仅如此，就算是在斜行里，也有这样的性质：
        http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201104/156005c5baf40ff51a327f1c34f2975b20110415123926.jpg
       如上图所示，考虑杨辉三角里的两个相邻斜行。不过这时候就不是上行比上下一行，而是刚好相反，下一行比上上一行。比如图中的两行，其对应元素的比值为：
       1/1，4/3，10/6，20/10，35/15，56/21……
       显然这个是以1/3为公差的等差数列，而且这是一个无穷数列。考虑任意两个相邻的斜行，运用上面的法则，得到的数列一定是一个等差数列。我们同样可以知道，第n斜行与第n+1斜行得到的等差数列的公差为1/n。
       其中美丽之处，足以媲美万千风景，我便是其中一游客，流连忘返。杨辉三角里面的东西，可不止这么多，这完全是一个无穷无尽的宝藏，已经知道的都是几百条，还有一些我们还没有发现，等待我们一起去挖掘。

  出处：学夫子数学博客：http://xuefuzi.com