3Blue1Brown可视化了费曼的一堂讲座——介绍牛顿如何用初等数学工具，结合开普勒定律和引力的平方反比法则，推导出“行星轨道是椭圆”。用精美的动画演示各种“神操作”，清晰生动，一看就懂。

但还是有两个稍微难一点的地方，我需要暂停视频想一会儿才明白。这里面除了技巧，还隐含着更深刻的东西。我把我的思考论证写在下面，如果你也被卡住的话，这些讨论也许能给你一些启发。

欢迎点开B站视频“【官方双语】费曼失传的演讲（https://www.bilibili.com/video/av28012188/ ）” ，看完再回来。

17分20秒左右：“当行星相对太阳水平偏转了θ度之后，对应的速度图中也偏转了θ度。 ”

英文字幕是“... that corresponds to walking theta degrees around our circle in the velocity diagram.”

令人困惑的是，什么东西在速度图中偏转了θ度？谁在“walk around our circle”？

是速度矢量吗？左边的圆里，表示速度矢量的一堆箭头，尾部从同一个点出发，头部依次向左偏转。是说那个黄色箭头和y轴的夹角是θ度吗？

答：不是的。

左边的θ，指的是桃红色扇形的圆心角。

有两个需要解释的问题：（1）为什么这个角是θ度？（2）桃红色圆心角有什么物理意义？

（1）为什么这个角是θ度？

首先要注意，桃红角和“黄色箭头与竖直方向的夹角”之间，并没有直接的数值上的关系，因为黄箭头的尾部并不在圆周上（那样的话它们是同一段弧对应的圆心角和圆周角，前者等于后者的二倍）。从这个方向入手得不到什么有用的信息。

换个视角，看看图右边的θ角到底表示什么？

视频13分15秒解释了这个“行星轨道图”的构造：将行星轨道像切披萨饼那样切成小块，使“每一块相对于太阳都有着相同的角度”（在右图中，披萨饼一共切成了24小块，每一块的角度是15°）。

当行星扫过θ度时，图中是扫过了4个淡蓝色小块，即θ=15°×4=60° 。

左边相应的速度变化也是4次：箭头从竖直向上开始，往左偏转4次，来到黄色位置。对应的桃红色圆弧，是4格小圆弧。注意！视频15分50秒处已经论证了：左边这一簇箭头的头部，把圆周均匀的划分成了很多小圆弧，每一个小圆弧的长度都相等（相邻箭头头部之间的连线，即速度矢量之间的差，大小相等、角度依次偏转，构成了一个圆内接正多边形）。小圆弧的个数，跟右边披萨饼的块数相同，也是24。所以这4格圆弧，是整个圆周的1/24×4=1/6，对应的桃红色圆心角是360°×1/6=60°，等于右边的θ。

把“切成24块”换成“切成N块”，把“扫过4块”换成“扫过n块”，我们就能得到一般性的结论：桃红角=360°×n/N=淡蓝角θ。

（2）桃红色圆心角有什么物理意义？

我们知道，淡蓝角表示行星在一段时间内绕太阳转动、扫过黄道面的角度。那么桃红角的物理意义是什么呢？

答案是：没有物理意义。

 

这个角只有几何（数学）意义。在难点二的证明中，我们会看到它几何上的用处。

从18分50秒开始， 剧情突飞猛进、急转直下，三句话即到达论证终点：椭圆。这最后一击是最难看懂的地方。

费曼把左边的速度图向右旋转90°；然后把每一个箭头（图中黄线）绕中点再旋转90°，它们的包络面围成一个椭圆。再接下来他就直接宣布：“右边的轨道图是一个椭圆了！ ”

——怎么回事？左边是椭圆没错，右边怎么就“也是椭圆”了？“速度矢量旋转围成的包络面”和“行星轨道”，这不是两个完全不同的东西吗？

——是的，它们在物理上确实是完全不同的两种东西。但它们在数学上有相似性。

理解这一点的关键在于，如果两个几何图形“在每一个θ角上对应的切线方向都一样”，那它们的形状一定是相同的。

用GIF动图表示是这样：

为什么呢？微积分可以给出严格证明，但我们现在只从直观上来感受一下：

想象你自己是那个绕着O点旋转的A点，箭头方向就是你此时此刻的速度方向。接下来一小段时间，你会沿着这个方向往前走一点。如果箭头朝向O点，你会往靠近O点的方向走一点点，反之，则会远离一点点。当你绕着O点走完一整圈，同时不断靠近、远离，你的轨迹就画出了整个封闭图形。最初你离O点的距离决定了图形的大小；但图形的“形状”——是圆的还是扁的，凸的还是凹的——仅由这些箭头（切线）的方向决定。

如果还有一个B点，总是和你处在同一角度上，而且每时每刻B点的切线方向总是跟你一样，那么你们两个最终围成的图形“形状”就应该是相同的。A和B可以是绕着同一个定点O运动，也可以把其中一个图形平移一下，让B绕着另一个定点O'运动。这不影响结论。

理解了这一点，我们再回过头去看3Blue1Brown的行星轨迹视频。如果我们能找到两个相等的“θ角”+两条平行的切线，我们就能证明它俩形状相等，一个是椭圆，另一个也是椭圆。

相等的“θ角”我们已经有了。还记得“难点一”的结论，桃红角等于淡蓝角吗？再回顾一下这张图：

等一下，桃红角是和竖直方向的夹角，淡蓝角是和水平方向的夹角，这和我们的“花生图”例子——两个花生的θ角都是与水平方向的夹角——不一样。

没关系，把速度图旋转90°就一样了：

我们得到了同样大小、同样位置摆放的两个θ角。

接下来是找平行的两条切线：

注意左边黄色箭头。它原本是右上角的黄色箭头，指向行星的速度方向，也就是行星轨迹的切线方向。平移到左边后，跟着整体右旋90°，成了现在的样子。想一想，如果我们再把它左旋90°转回来，是不是就跟右边的切线方向一样了？

动手做一下：

桃红扇形保持位置不动，颜色褪掉。把它左边的黄箭头以中点为轴左旋90°，我们得到一条新的黄线，跟右边的切线平行：

还差最后一个要素：“相切”。我们需要这条新的黄线也是一条切线，这样才能满足“在每一个θ角上对应的切线方向都一样”。

再回顾一下视频。从5分40秒开始讲怎样用这种方法构造出一个椭圆（左边小小的绿色部分），并且，因为“两点之间直线最短”，新的黄线就是这个椭圆的切线，而切点就在那条白色的半径上——这条半径与水平方向的夹角正好是θ度（那个桃红色扇形，它现在躺倒了）。

至此所有的事物都联系起来了。我们找到了两个图形，两个相等的θ角（切点到定点的连线与水平方向所成的夹角），两条平行的切线。以上条件对任意θ角都成立，所以这两个图形形状相同。左边是椭圆，右边就也是椭圆。

行星轨道是椭圆，证毕。（虽然我们还是不太理解，左边那个用旋转的线段围出来的小椭圆，“到底是什么”。）

突然一下子，图像脱离了原本的物理意义，成了纯粹的数学游戏。而这些数学游戏倒腾来倒腾去，最终又给出了可以用实验验证的物理结果。像一个魔法。

在标着“Velocities速度”的左半边图中，最初的黄色箭头是有明确的物理意义的：它的长度表示行星绕太阳运转的速度大小；箭头指向那一刻如果引力消失、行星会径直飞出去的方向。

把这些箭头放倒之后，图像的物理意义就消失了。把箭头去掉变成线段，再绕着线段中点旋转90°，对每一根线段都这样做，使它们围成一个椭圆……这一系列操作的每一步，都不再是对现实世界中某个物理量的观测和表达。我们暂时脱离物理，进入了数学的天空（这就是为什么我坚持用“左边”而不是“速度图”称呼这堆线条：它们已经不再表示什么“速度”了。 ）直到几何法则推导出“行星轨道是椭圆”的那一刻，我们的奇幻之旅才又重新回到物理学坚实的大地上。

我们借助数学魔法腾空而起，跃向大地的远方。如果你突然看不见熟悉的物理图像了，不要慌，停止追问“这是什么”、“这么做有什么意义”，换用数学的眼光去看待你周遭的一切。不要喊：“不是这儿！快放我下去！”请继续做好手头的工作，安心等待航班降落，相信它最终会把你带去你要去的地方。

接受数学工具的“难以理解”，是通往更广阔世界的必经之路。