新牛顿-莱布尼兹公式的无极限证明_青山长在

http://blog.sina.com.cn/u/2276104297

首页博文目录关于我

个人资料

微博

加好友发纸条

写留言加关注

博客等级：
博客积分：

博客访问：
关注人气：
获赠金笔：0支
赠出金笔：0支
荣誉徽章：

正文字体大小：大中小

新牛顿-莱布尼兹公式的无极限证明

(2018-09-11 17:18:19)

标签：

曲边梯形

有限分割

无限分割

牛顿-莱布尼兹公式

　　【摘要】介绍曲边梯形面积的两种经典求法。先从有限分割引出计算原理，再通过无限分割得出新牛顿-莱布尼兹公式，整个证明不涉及任何极限概念。

　　【关键词】曲边梯形；有限分割；无限分割；牛顿-莱布尼兹公式

　　某非线性函数 f(x) 在 [a, z] 区间为一段光滑曲线，a-f(a)-f(z)-z 形成一个曲边梯形，求它的面积 S。

　　求解曲边梯形的面积，有比较粗糙的有限分割法（图1）和比较精致的无限分割法（图2），后者就是定积分法。

http://s14/bmiddle/002u2iHDzy7nxSHtwPXdd&690

　　1、有限分割法

　　在x轴方向上做有限分割时，[a, z] 被分割成有限个子区间，整个曲边梯形分割成有限个高而窄的小曲边梯形，如图1所示。为了方便，我们设水平方向为均匀分割，每个子区间 [http://s2/mw690/002u2iHDzy7nxSS6Wpr41&690] 的宽度皆为 Δx。每个小曲边梯形的顶部都是曲线的一部分，子区间的两端分别对应着两个函数值 http://s14/small/002u2iHDzy7nxSYD7g98d&690。

　　我们在两个函数值和的中间选择一个数 http://s3/small/002u2iHDzy7nxT3lJNE22&690的选择依据这样的原则：尽量使这个规则小矩形的面积与子区间小曲边梯形的面积相等。这样，总面积S就可由 n 个规则的小矩形 —— 高度为 http://s7/small/002u2iHDzy7nxT76xkGa6&690，宽度为 Δx —— 的和（黎曼和）近似表示，即

　　http://s8/mw690/002u2iHDzy7nxTaQhpR67&690 （1）

　　分割的数量越多，各子区间小矩形的面积越接近小曲边梯形，总面积的误差越小，结果越准确。但有限分割法的工作量很大，效率很低。

　　2、无限分割法

　　在x轴方向上做无限分割时，[a, z] 被分割成无限个子区间，整个曲边梯形分割成无限个高而窄的小矩形，如图2所示。为了方便，我们设水平方向为均匀分割，每个子区间的宽度为无穷小量δx，小矩形的高度随x值而变化，等于曲线的函数值 f(x)。每个小矩形可以的宽度为δx，高度为 f(x)，面积为 f(x)δx。

　　我们可以方便地将任意一个子区间小矩形的面积写出

　　http://s14/mw690/002u2iHDzy7nxTElwhD7d&690 （2）

　　在（2）式中，等号左边的符号 Si 表示第 i 个待求小矩形的面积。等号的右边，象征性符号 S 表示本公式的目的在于求面积；S 下方与上方的 http://s14/mw690/002u2iHDzy7nxTHzEhD5d&690表示小矩形在x轴上的起点和终点坐标；f (x) 、δx 分别表示小矩形的高度、宽度。

　　在希腊字母表中，Δ 与 δ 是一对大小写字母。有限分割时，我们用大写的 Δ 后面加一个 x 表示子区间小矩形的宽度（Δx）；相应地，无限分割时，我们用小写的 δ 后面加一个 x 表示子区间小矩形的宽度（δx）。

　　引入莱布尼兹创建的符号系统对（2）式加以改造，将象征面积的符号“S”拉高、用拉丁字母“d”代替希腊字母“δ”，并将象征性符号“S”下方、上方之 http://s12/mw690/002u2iHDzy7nxTRHmLVcb&690的位置向右稍稍移动，于是（2）式就变成了现代微积分的标准形式