在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间.

二次分式函数具有形式http://s4/middle/002tKzM2zy6Rhi4kI6f53&690.

我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.

 

1. 定义域和有界性

http://s6/middle/002tKzM2zy6Rhi661trd5&690 是函数的渐近线.

当http://s4/middle/002tKzM2zy6Rhi6dixBe3&690 .函数有界.

1. 单调性,极值,值域

当http://s14/middle/002tKzM2zy6Rhi6o42xcd&690 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入http://s16/middle/002tKzM2zy6Rhi6sjdt8f&690 ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.

http://s12/middle/002tKzM2zy6Rhi6Aba35b&690这种情况最多有三个单调区间.

当http://s15/middle/002tKzM2zy6Rhi6JonQ9e&690

http://s7/middle/002tKzM2zy6Rhi6YElMe6&690

分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.

http://s3/middle/002tKzM2zy6Rhi7f72O42&690 .

http://s3/middle/002tKzM2zy6Rhi7gsuK52&690 .代入得

http://s1/middle/002tKzM2zy6Rhi73Alya0&690

http://s11/middle/002tKzM2zy6Rhi75zDAea&690

函数值域http://s13/middle/002tKzM2zy6Rhi7lSyM8c&690

根据http://s16/middle/002tKzM2zy6Rhi78Q5Fdf&690,

http://s6/middle/002tKzM2zy6Rhi7pDCt15&690

http://s8/middle/002tKzM2zy6Rhi7rwTZ27&690

可判断出单调区间http://s2/middle/002tKzM2zy6Rhi7uWZPe1&690

共有5个单调区间

顺便再算一下函数零点http://s13/middle/002tKzM2zy6Rhi7xhqk8c&690

有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像

http://s4/middle/002tKzM2zy6Rhi7mtkna3&690

通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.

 

二次分式函数极值公式

很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数.

http://s15/middle/002tKzM2zy6Rhi7o1m68e&690

http://s1/middle/002tKzM2zy6Rhi7pd9690&690

我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子http://s2/middle/002tKzM2zy6Rhi7tuTfe1&690 .

我们只需解方程http://s5/middle/002tKzM2zy6Rhi7uORmb4&690即可得到函数取极值时的x值.为了防止错误,最好验证的得到的x值是否在定义域内.

将方程系数与http://s11/middle/002tKzM2zy6Rhi7MuYa7a&690比较.发现N可以写成三阶行列式.

http://s4/middle/002tKzM2zy6Rhi7Rh6j13&690 .这样就很容易记住了.

对于上面的例子http://s11/middle/002tKzM2zy6Rhi7UXeWba&690

解得http://s16/middle/002tKzM2zy6Rhi7Xbcj3f&690.这种方法比分离变量快多了.

要求单调区间,由于N的符号和http://s14/middle/002tKzM2zy6Rhi7MJo9fd&690 的图像,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间.

 

如果要求极值,把x代入函数

http://s13/middle/002tKzM2zy6Rhi7OtIg8c&690

计算量很大,对于x很复杂的情况建议用判别式求值域.

想到取极值时的x值可用方程http://s10/middle/002tKzM2zy6Rhi86BVn49&690表示,我们也找到一个关于y的方程.

联立http://s3/middle/002tKzM2zy6Rhi88t2Oe2&690 ,消去x整理得

http://s15/middle/002tKzM2zy6Rhi7Vx8iae&690

http://s3/middle/002tKzM2zy6Rhi8ddf472&690 .

我们只需特别记住一次项系数http://s9/middle/002tKzM2zy6Rhi84aXC78&690发现这一项也挺好记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍

对于上面的例子,将系数代入该方程得http://s1/middle/002tKzM2zy6Rhi87K5ac0&690 .

根据已求出的单调区间, 比较http://s12/middle/002tKzM2zy6Rhi8aeGn2b&690 和极值的大小即可区分极大值和极小值.

我们重新回顾判别式求值域的方法. http://s9/middle/002tKzM2zy6Rhi8qHjOa8&690

http://s9/middle/002tKzM2zy6Rhi8e9Ic68&690 的解即为极值.

重新整理方程可得http://s3/middle/002tKzM2zy6Rhi8gjwSc2&690 和刚才的到的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.

 

在考试中,我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域内求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值.再用http://s14/middle/002tKzM2zy6Rhi8x1h31d&690和渐近线求出单调区间进而求出值域.

 

下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题.

(2013浙江)如图,点http://s15/middle/002tKzM2zy6Rhi8vZbEce&690

1. 求椭圆http://s10/middle/002tKzM2zy6Rhi8CtK169&690的方程;
2. 求http://s3/middle/002tKzM2zy6Rhi8JIaud2&690的方程;

 

http://s10/middle/002tKzM2zy6Rhi93RQl79&690

第一问http://s4/middle/002tKzM2zy6Rhi8QOTFa3&690

设http://s9/middle/002tKzM2zy6Rhi97sUM08&690

O到AB距离http://s5/middle/002tKzM2zy6Rhi8Xiwk44&690 .

http://s4/middle/002tKzM2zy6Rhi90FqP33&690

(http://s14/middle/002tKzM2zy6Rhi92U5D3d&690套用圆锥曲线硬解定理)

http://s15/middle/002tKzM2zy6Rhi9jWQS2e&690

http://s14/middle/002tKzM2zy6Rhi9kHM1bd&690

接下来是关键了,用我们的公式来算.

http://s1/middle/002tKzM2zy6Rhi9n8Fa70&690

http://s12/middle/002tKzM2zy6Rhi9oEBR1b&690

http://s2/middle/002tKzM2zy6Rhi9bDj3f1&690

http://s1/middle/002tKzM2zy6Rhi9t1Mke0&690

现在算最大面积.

http://s9/middle/002tKzM2zy6Rhi9wAxqb8&690

http://s6/middle/002tKzM2zy6Rhi9yXSl15&690