我们从空间坐标变换说起。我们知道，平面解析几何中的坐标变换式是：

　　x'=xcosφ+ysinφ

　　y'=-xsinφ+ycosφ

　　借助矩阵的形式，我们可以把上式写成：

　　┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐

　　│x1'│ │a11 a12││x1│

　　│ │=│ ││ │

　　│x2'│ │a21 a22││x2│

　　└ ┘ └ ┘└ ┘

　　这里的变换矩阵

　　┌ ┐ ┌ ┐

　　│a11 a12│ │cosφ sinφ │

　　│ │=│ │

　　│a21 a22│ │-sinφ cosφ │

　　└ ┘ └ ┘

　　是一个正交矩阵，因此这样的坐标变换能保证任意两点间距离不变。

　　从这里只要一步就可以跨进狭义相对论。我们把时间t乘以一个因子ic，这里c是具有速度量纲的一个常数，那么ict就有了长度的量纲（不过它的数值是虚的）。这个ict就作为与

　　三维空间的三个坐标相并列的第四维度，并且规定在坐标变换（实际上就是从一个惯性系变换到另一个惯性系）时，变换矩阵必须是正交的。比如，我们常见的洛仑兹变换：

　　x'=(x-vt)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)

　　y'=y

　　z'=z

　　t'=(t-vx/c^2)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)

　　如果把x、y、z依次记为x1、x2、x3，又记ict为x4，写成矩阵的形式就是：

　　┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐

　　│x1'│ │ γ 0 0 iβγ ││x1│

　　│x2'│=│ 0 1 0 0 ││x2│

　　│x3'│ │ 0 0 1 0 ││x3│

　　│x4'│ │-iβγ 0 0 γ ││x4│

　　└ ┘ └ ┘└ ┘

　　上式中，β=v/c，γ=1/√1-v^2/c^2 。这么一来，“时空统一”看起来是不是清楚多了？

　　在这样的正交变换之下，有一个叫做“四维间隔”的东西是守恒的。如果记间隔为s，那么

　　s^2=（x1）^2+（x2）^2+（x3）^2+（x4）^2=r^2－(ct)^2

　　这个“四维间隔”，也就是四维时空中两点（准确地说应该叫做“时空点”）间的“距离”。上式最右边的r是空间上的距离，t是时间上的距离。

　　与此同时，c就成了四维时空中一个非常独特的速度。

　　假如：

　　在某个惯性系S1看来，一个物体从A地匀速运动到B地，历时t1，穿越距离r1；

　　而在另一惯性系S2中，这一物体从A地到B地，历时t2，穿越距离r2；

　　那么在这两个惯性系中，“物体从A地到B地”所经历的“四维间隔”的平方分别是

　　s1^2=r1^2-(ct1)^2

　　和

　　s2^2=r2^2-(ct2)^2。

　　倘若在S1系中此物体速度为c，那么r1/t1=c，于是s1=0。则经过时空坐标的变换后必有s2=0即r2/t2=c，也就是说这一物体在S2系中的速度也是c。换句话说，只要时间t以一个固定的常数c（不管这是不是光速！）与空间相联系，那么以c为速度的物体在一切惯性系中的速度都是c。

　　前提是C不为0。

       

 

       数学定义　:　设V是实数域上的四维空间，若g是一个非退化的对称型且其正惯性指数等于3，则称（V，g）是一个闵可夫斯基空间.g在适当基下有如下矩阵

　　1 0 0 0

　　0 1 0 0

　　0 0 1 0

　　0 0 0 -1

　　V上的正交变换即称为洛伦兹变换，V中的迷向向量称为光向量，V中适合g（x,x)>0的向量x称为空间向量，而适合g（x,x)<0的向量x称为时间向量.这些相关名词指出了闵可夫斯基空间的物理学渊源.

 

       闵可夫斯基空间性质　:　可以证明闵可夫斯基空间的下列性质：

　　（1）任意两个时间向量不可能相互正交；

　　（2）任意一个时间向量都不可能正交于一个光向量；

　　（3）两个光向量正交的充分必要条件是它们线性相关.