加载中…[干货][v2.0]18种常见概率分布概率密度函数、意义、应用
(2019-08-15 14:13:29)
标签：
概率论数学 |
(公式和图都被吞了)
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8.
均匀分布 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作 。正态分布为方差已知的正态分布 的参数 的共轭先验分布。
（均值与方差相同的）逆高斯分布与Gamma分布相比，逆高斯分布具有尖峰厚尾的特性。记作 。
指数分布 是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中 为尺度参数。指数分布的无记忆性： 。
强度为 的泊松流的点间间距服从同一个指数分布，其逆命题也成立。
5. Beta分布（ 分布）
Beta分布记为 ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布 中的参数p的先验分布取 ，实验数据（事件A发生y次，非事件A发生n-y次），则p的后验分布 ，即Beta分布为二项分布 的参数p的共轭先验分布。
6. Gamma分布（伽马分布，Γ分布）
Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为 。其中 为形状参数， 为尺度参数。
泊松流的等待时间 服从Γ分布。
Gamma分布为指数分布 的参数 、Poisson分布 的参数 的共轭先验分布。
移位的伽马分布即为皮尔逊型分布。
当参数 时，Gamma分布变为指数分布。
Gamma分布的可加性：若 相互独立，且 服从参数为 ， （ ）的Gamma分布，则 服从参数为 ， 的Gamma分布。
倒Gamma分布记为 。若随机变量 ，则 。其中 为形状参数， 为尺度参数。倒Gamma分布为指数分布 的参数 、均值已知的正态分布 的参数 的共轭先验分布。
8. 威布尔分布(Weibull分布，韦伯分布，韦布尔分布)
威布尔分布记为 。其中 为形状参数， 为尺度参数。当 ，它是指数分布； 时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
Pareto分布记为 。其中 为门限参数， 为尺度参数。Pareto分布是一种厚尾分布。Pareto分布为均匀分布 的参数 的共轭先验分布。
10.
Cauchy分布记为 。其中 为位置参数， 为尺度参数。中位数 ，期望、方差都不存在。如果 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数 服从同样的柯西分布。标准柯西分布 是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。
设 是来自 的样本，则称统计量 服从自由度为n的 分布，记为 。
分布的可加性：设 ， ，并且 ， 相互独立，则有 。
12.
设
，
，且X，Y相互独立，则称随机变量
服从自由度为n的t分布。记为
。当自由度
时，t分布将趋于
。有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖
13.
设 ， ，且U，V相互独立，则称随机变量 服从自由度为 的F分布，记为 。设 与 分别是来自正态总体 和 的样本，且这两个样本相互独立。设 ， 分别是这两个样本的样本均值； ， 分别是这两个样本的样本方差，则有 ；当 时， ，其中 。
二项分布十分好理解，给你n次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p，问在这n次机会中有k次（k≤n）硬币朝上的概率为多少。记为 。
当n足够大，且p不接近于0也不接近于1时，二项分布 可用正态分布 来近似。
伯努利实验中，记每次实验中事件A发生的概率为p，如果X为事件A第r次出现时的试验次数，则X的可能取值为 ，则称X服从负二项分布，记作 。
泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”，记为 。当二项分布满足 时，二项分布近似为泊松分布。
泊松分布 当 足够大时，变成正态分布 。
对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y是正态分布的随机变量，则exp(Y)是对数正态分布；同样，如果X是对数正态分布，则ln(X)为正态分布，如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布，如拟合风速分布模型，记为 。
当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。
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