n阶对称矩阵A是正定矩阵http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image127.gifA的n个特征值全大于零。
证：由A为n阶实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image111.gif合同。
则A正定http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image111.gif的对角元，即A的n个特征值全大于零。
　　　　证毕。

　　推论（1）n阶对称矩阵A是正定矩阵http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image127.gifA的正惯性指数为n
　　　　（2）n阶对称矩阵A是正定矩阵http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image127.gif  
　　　　（3）任意两个同阶正定矩阵必是合同矩阵。
　　证：（1）因为A的正惯性指数就是A的正特征值的个数。
所以A正定http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image127.gifn个特征值全大于零http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image127.gifA的正惯性指数为n。
　　　　（2）由对称矩阵的惯性定理，对任意一个n阶对称矩阵A，它一定合同于对角矩阵http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image086.gif为A的正惯性指数。
由A正定http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image127.gif 合同于单位矩阵E。
　　　　（3）设A和B都是n阶正定矩阵，则A与B都合同于n阶单位矩阵，则由合同关系的传递性，说明A和B都是合同矩阵。

例3：设A是n阶正定矩阵，则A为可逆矩阵，且A的逆矩阵与伴随矩阵也必是正定矩阵。
　　证：（1）因为A是n阶正定矩阵，所以它的n个特征值http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image139.gif，故A必是可逆矩阵。
　　　　（2）由设A的n个特征值为http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image140.gif也必为正定矩阵。
　　　　（3）因http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image144.gif也必为正定矩阵。

　　在例3的证明过程中，已知正定矩阵A的行列式http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_4184/soft/images/06/image145.gif还不能保证A为正定矩阵，还需加强条件，下面我们来计论相关问题，引入概念：