上周末，天文摄影爱好者的群里有人问了这样一个问题：夏至是一年中白昼最长的一天，而冬至是一年中白昼​最短的一天，但为什么不是一年中日出最早（晚）日落最晚（早）的一天呢？

一开始看到这个问题，还真有点一时摸不着头脑。直觉告诉我，这也许跟地球绕太阳运动的速度不均匀有关​，但一时又说不清是怎么影响的。直到群里有人提到了均时差，才恍然大悟：我们平时用的时间是“平太阳时”，是假定太阳在黄道上匀速移动所测定的时间；同观察每天太阳的东升西落所测定的“视太阳时”是有偏差的。所以才产生了这样的现象。

下图是去年天文科普微博@EasyNight 当年的科普图，说明了不同纬度日落最早/日出最晚的时间表。

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​俗话说得好，好奇害死猫。好(wu)奇(liao)的我看到了这张图以后，就一直在思考，这组曲线到底是怎么绘制出来的呢？经过了下班地铁上的思考，借助维基百科的帮助，终于把这个并不复杂的问题想清楚了。

以下就是鄙人简单的估算，原本以为可能需要自己写段程序，但后来发现Excel就能轻松搞定了~~

1. 首先不考虑均时差的影响，计算某个纬度的日出日落时间。

    a. 太阳在黄道上均匀移动，周期为T=365.2422天。在黄道坐标系上，黄纬始终为0。假定春分日为3.21（第80天）为时太阳过黄经的0点，那么对于一年中的365天，第N天太阳的黄道坐标(β, γ)可表示为：

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​​    b. 计算日出日落时间，需要将黄道坐标转换为赤道坐标，再根据所在地纬度换算成地平坐标[1]。那么首先计算第N天太阳的赤纬 δ ：

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    代入 β =0，黄赤交角​ ε=23.439281º，便可以计算出一年中第N天太阳的赤纬 δ ：

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​    c. 根据太阳的赤纬 δ 以及所在地的纬度 θ，计算转换后的地平坐标(A, H)满足[2]：

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       不考虑高纬度的极昼极夜现象，当日出日落时，A==0。则可以计算出日出日落时分所对应的弧度：

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         将弧度转换为时间，有

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     由此可见，在不考虑均时差的情况下，夏（冬）至日恰好是日出最早（晚），日落最晚（早）的日子，并且是一个以一年为周期的周期函数。

2. 均时差的计算：

视太阳时与平太阳时之差的估算，主要考虑以下因素：

a. 黄赤交角

   太阳在过春（秋）分点与夏（冬）至点时，太阳沿赤经方向上移动的分量不同。在“分”点时，赤纬方向上的分量较大，赤经上的较小；而在“至”点时则反之。因此这就产生了一个以半年为周期的时均差分量。

b. 公转轨道偏心率

   地球绕太阳公转，每年1月左右过近日点，在黄道上移动速度较快；7月左右过远日点，在黄道上移动较快，从而产生一个以一年为周期的时差分量。

c. 地球公转的进动，章动

   地球轨道的长周期变化，也会使得视太阳时与平太阳时之间的差值产生变化，因而每一年同一天的时均差分量并不相同。

具体的时均差的计算相当的复杂，需要根据观测结果进行修正。这里使用当前近似公式计算[3]：

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那么日出日落的时间就可修正为：

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​修正函数可以看成是一个以一年为周期的函数与一个半年为周期的函数的叠加，并且有一定幅度的相位偏移，因此造成了日出日落时间的极值与夏（冬）至时间的不同步。

3. 有了以上的公式推导，就可以很容易的用excel表格对给定纬度值得某个地点，在一年中每一天的日出日落时间了。以魔都所在的北纬31.2度为例：

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​绘制每一天日出日落时间的折线图与散点图：

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​

对于北纬31.2度的上海，不考虑地方时与时区标准时之间的时差，一年中日出日落时间的极值分别为：

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而对于北纬45度的哈尔滨，同样不考虑地方时与标准时之间的时差：​

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​从上述计算中可以看出，由于均时差E不受纬度的影响。而高纬度地区相对于低纬度地区，白昼时长变化较大，均时差E的影响较小，因而极值的日期更接近夏（冬）至日；而随着低纬度降低，修正项的E的影响逐渐增加，极值点偏离 夏（冬）至日的距离逐渐增加；直至日夜始终等长的赤道地区，完全由时均差主导。

当然，以上只是简单的估算分析，误差会比较大。具体的日出日落时间，还是看天文台的预报吧~~​ 再次借用EN菌的一张图，看看你们所在的城市，哪一天太阳最早落下吧~~

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好吧，我就是这么一个好(wu)奇(liao)的天文程序猿~~

最后感谢@EasyNight 的精美图片，与@叶梓颐-巡天者​ 的提问，以及群里众位大神的启发。

Reference

​[1]维基百科：黄道坐标系https://zh.wikipedia.org/wiki/黃道坐標系

[2]维基百科：​地平坐标系https://zh.wikipedia.org/wiki/地平坐標系

[3]维基百科：均时差​ https://zh.wikipedia.org/wiki/均時差