指数增长（Exponential Growth）: 指一个变量增长的速率与它此时的数量成比例。通常种群的增长是指数增长，比如

例子1，细菌的无限制生长(没有资源限制)。

例子2，人口的无限制生长(没有资源限制)。

在经济领域也存在指数增长，比如

例子3，固定年利率储蓄账户金额的增长。

比如在银行做固定年利率5%的定期存款，存了10000元，1年后存款金额变为10000*(1+5%)=10500, 2年后存款为10500*(1+5%)=10000*(1+5%)^2, 3年后存款为10000*(1+5%)^3, n年后存款为10000*(1+5%)^n

推导出公式为: Y(t)=Y(0)*A^(t), A>1，t=1,2,3...

指数增长模型为

dN/dt＝rN或N(t)＝N(0)*e^(r*t)

其中，r为瞬时增长率；N(t)为t时刻的种群数量；N(0)为初始时刻的种群数量；e为自然对数的底（2.718）。

离散化后为

N(i+1)=N(i)+N(i)*k , k>0

指数衰减:指一个变量减少的速率与它此时的数量成比例

模型为

dN(t)/dt=–N(t)/A 或 N(t)=N(0)*e^(-t/A)

其中A为时间常数

离散化后

N(i+1)=N(i)-N(i)*k , k<1

指数衰减的例子

1.化学反应某反应物的减少

2.RC电路电流的减小

3.放射性物质的衰变

4.大气压与海拔的升高

计算题

1.借高利贷的月利率是A，如果欠钱不还，利滚利，求多少月以后欠钱翻倍？

解答:假设n月以后欠钱翻倍，则

(1+A)^n=2 => n*ln(1+A)=ln2 =>

n=ln(2)/ln(1+A)

2.某元素衰变，每个周期末测量物质的量为期初测量值的A%,求多少周期后所剩物质不足1%？

解答:假设n周期后剩物质不足1%，则

(A/100)^n=0.01 => ln0.01=n*ln(A/100)

=> n=ln0.01/ln(A/100)

3.公式(1+1/n)^n，当n趋向正无穷大和负无穷大的值。

lim(1+1/n)^n=e=2.71828......

当n趋向正无穷大的时，上式的极限等于e= 2.71828……，当n趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828......

自然指数e，亦称之为欧拉数（Euler's Number），是一个无限不循环小数，其值约为：2.71828182845904523536